Funció de Mertens

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

La funció de Mertens, en honor del matemàtic Franz Mertens (1840-1927), es defineix com

M ( n ) = k = 1 n μ ( k ) {\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}

on μ(k) és la funció de Möbius. És a dir, és la suma acumulativa dels n primers valors de la funció de Möbius. Com els valors de la funció de Möbius són sempre -1, 0 o 1, és clar que la funció de Mertens creix lentament i no existeix cap x tal que M(x) > x. La conjectura de Mertens és més restrictiva, i afirma que no existeix cap x tal que |M(x)| sigui superior a l'arrel quadrada de x. Aquesta conjectura fou negada el 1985. Nogensmenys, la hipòtesi de Riemann, és equivalent a una versió més feble de la conjectura:

M ( x ) = o ( x 1 2 + ϵ ) {\displaystyle M(x)=o(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })}

La funció de Mertens és molt útil en teoria de nombres i té una relació molt directa amb la funció zeta de Riemann (i amb la localització de les seves arrels no trivials):

1 ζ ( s ) = n μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}

A continuació presentem alguns valors de la funció de Mertens

n M(n)
1 1
2 0
3 –1
4 –1
10 –1
1.000 2
2.000 5
9.000 1
10.000 –23
10⁶ 212
107 1.037