Principi del mòdul màxim

En matemàtiques, el principi del mòdul màxim en l'anàlisi complexa estableix que si ${\displaystyle f}$ és una funció holomòrfica, llavors el mòdul ${\displaystyle |f|}$ no pot exhibir un màxim local estricte que estigui correctament dins del domini de ${\displaystyle f}$.

En altres paraules, tampoc ${\displaystyle f}$ és localment una funció constant, o, per a qualsevol punt ${\displaystyle z_{0}}$ dins del domini de ${\displaystyle f}$ existeixen altres punts arbitràriament propers ${\displaystyle z_{0}}$ als quals ${\displaystyle |f|}$ pren valors més grans.

Declaració formal

Sigui${\displaystyle f}$ ser una funció holomòrfica en algun subconjunt obert connectat ${\displaystyle D}$ del pla complex ${\displaystyle \mathbb {C} }$ i prenent valors complexos. Si ${\displaystyle z_{0}}$ és un punt ${\displaystyle D}$ de tal manera que ^[1]

${\displaystyle |f(z_{0})|\geq |f(z)|}$

per a tot ${\displaystyle z}$ en algun veïnat de ${\displaystyle z_{0}}$, doncs ${\displaystyle f}$ està encès constant ${\displaystyle D}$.^[2]

Aquesta afirmació es pot veure com un cas especial del teorema de mapeig obert, que estableix que una funció holomòrfica no constant mapeja conjunts oberts a conjunts oberts: ${\displaystyle |f|}$ assoleix un màxim local a ${\displaystyle z}$, llavors la imatge d'un barri obert prou petit de ${\displaystyle z}$ no es pot obrir, doncs ${\displaystyle f}$ és constant.^[3]

Aplicacions

• El teorema fonamental de l'àlgebra.
• El lema de Schwarz, un resultat que al seu torn té moltes generalitzacions i aplicacions en anàlisis complexes.
• El principi Phragmén-Lindelöf, una extensió a dominis il·limitats.
• El teorema de Borel–Carathéodory, que limita una funció analítica en termes de la seva part real.
• El teorema de les tres línies de Hadamard, un resultat sobre el comportament de les funcions holomòrfiques acotades en una línia entre altres dues línies paral·leles en el pla complex.^[4]

Referències