Binomické koeficienty lze uspořádat do tvaru Pascalova trojúhelníka, ve kterém je každá hodnota součtem dvou hodnot ležících nad ní.Znázornění binomické expanze do čtvrté mocniny
Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat -prvkovou podmnožinu z -prvkové množiny ( a jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení , či . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu:
Platí rovnost
Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení.
Základní vlastnosti
Pro přirozená čísla n a k, kde a platí:
Zobecnění kombinačních čísel
Pokud definujeme kombinační číslo takto
,
kde je nezáporné celé číslo, pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo není celé nezáporné. Na číslo dokonce nemusíme klást žádné podmínky, může se jednat dokonce o číslo komplexní. Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě.
Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí
kde i mohou být komplexní čísla – pak ovšem nebudou platit popsané vlastnosti kombinačních čísel pro všechny hodnoty.
Odkazy
Literatura
MATOUŠEK, Jiří; NEŠETŘIL, Jaroslav. Kapitoly z diskrétní matematiky. 3., upravené a doplněné vyd. Praha: Karolinum, 2007. ISBN978-80-246-1411-3. Kapitola 3. Kombinatorické počítání, s. 76–82.
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4., upravené vyd. Praha: Academia, 2006. ISBN80-200-1448-9. Kapitola 1.7.1. Binomické koeficienty, binomická věta, s. 156–160.