V lineární algebře Ruffiniho pravidlo dovoluje dělit jednoduchým způsobem jakýkoliv polynom polynomem prvního řádu ve formě (x-a). Pravidlo popsal italský matematik Paolo Ruffini v roce 1809.
Algoritmus
Ruffiniho pravidlo stanovuje metodu dělení polynomu
![{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbede04a95764c2dccd8ceda314b15f9caf62c29)
polynomem
![{\displaystyle A(x)=x-r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210509d6b063504d90fd5c6406ef8b0c56645d76)
pro dosažení vysledku
![{\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cd87588f4d0ee94a8f580926da4fbd8bf318cb)
a zbytek R, což je konstanta, případně nula.
Algoritmus není nic jiného než dělení polynomu P(x) lomeno A(x), ovšem zapsáno ve zjednodušené formě.
Pro dělení P(x) lomeno A(x) postupujeme takto:
- Vezmeme koeficienty P(x) a zapíšeme je do prvního řádku v pořadí podle mohutnosti x. Do druhého řádku před svislou čáru zapíšeme r (konstanta polynomu A(x)):
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c7642bc42d76c7dffb34546968162cbc791d0d)
- Zkopírujeme koeficient (an) dolů pod čáru:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10bf85bcbcc770456e3c2fafe3bd288ce801fc2)
- Vynásobíme nejpravější číslo z těch, co jsou pod čarou, krát r a výsledek zapíšeme do řádku nad čarou o jednu pozici vpravo:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5fdb1f8ead72c769b5a71e0ae03be43be790f7)
- Sečteme tuto hodnotu s hodnotou nad ní a výsledek zapíšeme pod čáru:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb21cc25aea24680572a1e6250da7beefd048ef1)
- Opakujeme operaci dokud nedojdeme na konec tabulky
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e271eca6682634a7eccd5ca56478568a6564f3a9)
Hodnoty
![{\displaystyle b_{n-1},b_{n-2},\dots ,b_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18756b3d256eff232c7c6c07ab4842b7eae12c56)
jsou koeficienty výsledky Q(x), jehož řád je o jedno menší než řád P(x). R je zbytek po dělení a je to konstanta (není to funkce x).
Příklady
Dělení polynomem (x − r)
Mějme
![{\displaystyle \,P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af780528d0662324dd14cfd857e92889fe3508b)
![{\displaystyle \,A(x)=x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb82d5873243447473e4441f573d1713d8fee3b)
Chceme vydělit P(x) lomeno A(x) s použitím Ruffiniho pravidla. První problém je v tom, že A(x) není ve formě (x − r), ale (x + r). To ovšem není vážný problém, stačí zapsat A(x) jako
![{\displaystyle A(x)=x+1=x-(-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc17a8f729ca5b7f6fdc3723112a8801dd64958c)
Jdeme na to:
- Zapíšeme koeficienty P(x) a r:
![{\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7d1bd2a165fc171d500d867ed76e221d6d3604)
- Zkopírujeme první koeficient dolů:
![{\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d96fef47a83e06fc76161fc29d773f699c9350a)
- Vynásobíme nejpravější číslo pod čarou krát r a výsledek zapíšeme do následující pozice nad čarou:
![{\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f383226e62a8daeae330be540630d39c33b40a)
- Sečteme hodnoty ve druhém sloupci, výsledek zapíšeme pod čáru:
![{\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d572a4d158d6ed769bb8117fe45ba2cd9b6f486)
- Opakujeme body 3 a 4 dokud nedojdeme na konec tabulky:
![{\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59101c0f9fba928908ea47cf6689e5f60c04c5c)
Dostali jsme tedy výsledek, pro který platí:
![{\displaystyle P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35deb6e86a48a86cd8e0725e3b6c331142d383d3)
kde
![{\displaystyle Q(x)=2x^{2}-7x+6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f857039ca1d82bec27d25530298cadb45ae5d82a)
.
Dělení polynomem (ax − k)
Aplikací jednoduché transformace můžeme použít Ruffiniho pravidlo i pro polynomy ve tvaru
.
![{\displaystyle P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3200c2c481cb58e2ac49321b3cef7fddfbbab4)
Bude stačit vydělit všechno koeficientem a, který je vždy různý od nuly (jinak by to nebyl polynom).
![{\displaystyle {\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da299a659ce4c506be743816eafd37ba3773ecfc)
Nechť
a
, dostaneme:
![{\displaystyle P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2b7b652a48778269f5c2d060ecea7fd8a9dad7)
Takže
je též výsledek dělení
lomeno
, který se vyřeší výše uvedeným algoritmem. Abychom dostali zbytek
bude stačit vynásobit zbytek který jsme dostali
krát
.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regola di Ruffini na italské Wikipedii.
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Ruffiniho pravidlo na Wikimedia Commons
Portály: Matematika