Chudnovsky-Algorithmus

Der Chudnovsky-Algorithmus ist eine von den Chudnovsky-Brüdern im Jahre 1988^[1] entwickelte iterative Methode zur Berechnung beliebig vieler Nachkommastellen der Kreiszahl π. Jede Iteration liefert durchschnittlich 14,81 weitere Dezimalstellen.^[2] Der Algorithmus basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.\!}$

Dieser Algorithmus wurde seitdem für alle Weltrekordberechnungen eingesetzt, siehe Rekorde der Berechnung von π.

Heegner-Punkte können dabei helfen, sehr schnell konvergente Reihen zu finden, die gegen die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ konvergieren. Vorläufer solcher Reihentypen waren schon von Srinivasa Ramanujan zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckt worden. Die Brüder David und Gregory Chudnovsky nutzten schließlich die Punkte ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {n}}}{2}}}$ mit natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$, um die Arbeiten von Ramanujan weiterzuführen. Dabei fanden sie eine für ${\displaystyle j(\tau ):=1728J(\tau )}$ und all diese Heegner-Punkte gültige Reihenidentität

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{6}}(1-s_{2}(\tau ))+k\right){\frac {(6k)!}{(3k)!k!^{3}}}{\frac {1}{j(\tau )^{k}}}={\frac {\sqrt {-J(\tau )}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {n(1-J(\tau ))}}},}$

die den durch Eisensteinreihen definierten Term

${\displaystyle s_{2}(\tau )={\frac {E_{4}(\tau )}{E_{6}(\tau )}}\left(E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi \mathrm {Im} (\tau )}}\right)}$

beinhaltet.^[4] Dabei bezeichnet ${\displaystyle k!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k}$. Daraus konnte nach Einsetzen des Heegner-Punkts ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}}$ der Chudnovsky-Algorithmus entwickelt werden, mit Hilfe dessen die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ extrem schnell auf viele Nachkommastellen berechnet werden kann. Er nutzt aus, dass der Wert ${\displaystyle j\left({\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}\right)}$ ganzzahlig ist. Über die Methoden, wie man ${\displaystyle j(\tau )}$ allgemein berechnet, kann man bereits diese und weitere Kuriositäten beobachten. Man weiß wegen der Fourier-Entwicklung ${\displaystyle j(\tau )=e^{-2\pi i\tau }+744+196\,884e^{2\pi i\tau }+\dotsb }$, dass für Werte ${\displaystyle \tau }$ mit größerem Imaginärteil die Zahl ${\displaystyle j(\tau )}$ bereits sehr nahe an ${\displaystyle e^{-2\pi i\tau }+744}$ liegt. In der Tat findet man^[5]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}\,999\,999\,999\,999\,250\ldots .}$

Ein ausführlicher Beweis dieser Formel findet sich hier:^[6]

Diese ist ähnlich der Ramanujan-Formel zur Ermittlung von π^[3] und ist ein Beispiel der Ramanujan-Sato-Reihen.

${\displaystyle \pi }$ kann mit beliebiger Genauigkeit durch Implementierung des oben genannten Algorithmus in eine dafür geeignete Programmierungsumgebung berechnet werden. Im Folgenden ein Beispiel mit MATLAB:^[7]

function P = chud_pi(d)
% CHUD_PI Chudnovsky algorithm for pi.
% chud_pi(d) produces d decimal digits.

k = sym(0);
s = sym(0);
sig = sym(1);
n = ceil(d/14);
for j = 1:n
  s = s + sig * prod(3*k+1:6*k)/prod(1:k)^3 * ...
    (13591409+545140134*k) / 640320^(3*k+3/2);
  k = k+1;
  sig = -sig;
end
S = 1/(12*s);
P = vpa(S,d);

1. ↑ David Chudnovsky, Gregory Chudnovsky: Approximation and complex multiplication according to Ramanujan. In: Ramanujan revisited: proceedings of the centenary conference. 1988. 
2. ↑ FH Graubünden: Algorithmus, Informationen über die Weltrekordberechnung 2021, abgerufen am 26. März 2022
3. ↑ ^{a b} Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for 1/π: a survey. In: American Mathematical Monthly. Band 116, Nr. 7, 2009, S. 567–587, doi:10.4169/193009709X458555, JSTOR:40391165. 
4. ↑ Nayandeep Deka Baruah, Bruce Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for ${\displaystyle 1/\pi }$: A survey. Mathematics Student, S. 576.
5. ↑ Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms. Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, S. 73.
6. ↑ Lorenz Milla: Ein ausführlicher Beweis der Chudnovsky-Formel mit elementarer Funktionentheorie. 2018, arxiv:1809.00533. 
7. ↑ Cleve Moler: Computing π. (PDF) In: mathworks. 2011, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 4. März 2018; abgerufen am 3. März 2018.