Dyson-Gleichung

Die Dyson-Gleichungen sind von Freeman Dyson gefundene Zusammenhänge zwischen verschiedenen S-Matrix-Elementen bzw. Greenfunktionen einer Quantenfeldtheorie. Zwar wurden die Gleichungen von Dyson nur für Zwei-Punkt- und Drei-Punkt-Funktionen in der Quantenelektrodynamik durch Aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme gefunden,^[1] doch gelten diese Integralgleichungen allgemein in Quantenfeldtheorien und werden auch für allgemeine n-Punkt-Funktionen verwendet.

Sie stellen die vollen (dressed) renormierten Green-Funktionen dar durch einen wechselwirkungsfreien Anteil, die sogenannten nackten (bare) Green-Funktionen, und einen wechselwirkungsbehafteten Teil, der alle möglichen Wechselwirkungen der beteiligten Felder beinhaltet.

Die originalen Dyson-Gleichungen lauten:^[1]

• für den Elektron-Propagator: ${\displaystyle S=S_{0}+S_{0}\Sigma S}$
• für den Photon-Propagator: ${\displaystyle D^{\mu \nu }=D_{0}^{\mu \nu }+D_{0}^{\mu \alpha }\Pi _{\alpha \beta }D^{\beta \nu }}$
• für den Elektron-Photon-Vertex: ${\displaystyle \Gamma _{\mu }=\gamma _{\mu }+\Lambda _{\mu }}$

wobei

• die tiefgestellte 0 jeweils die wechselwirkungsfreien Terme kennzeichnet und
• die großen griechischen Buchstaben jeweils die irreduzible Green-Funktion für das Ein-Teilchen-System darstellen, also
  • ${\displaystyle \Sigma }$ die Elektron-Selbstenergie
  • ${\displaystyle \Pi _{\alpha \beta }}$ die Photon-Vakuumpolarisation.

Die ersten zwei Gleichungen sind Einteilchenfälle (n=1) der allgemeinen Form für n Teilchen, die heute oft als die Dyson-Gleichung bezeichnet wird:

${\displaystyle G^{n}=G_{0}^{n}+G_{0}^{n}K^{n}G^{n}}$

mit

• der vollen Green-Funktion ${\displaystyle G^{n}}$
• der Green-Funktion ${\displaystyle G_{0}^{n}}$ für n wechselwirkungsfreie Teilchen
• den irreduziblen Wechselwirkungen ${\displaystyle K^{n}}$.

Die Dyson-Gleichung, auch in Form der Dyson-Schwinger-Gleichungen, wird heute in vielen Bereichen der theoretischen Physik eingesetzt.

• Bethe-Salpeter-Gleichung

1. ↑ ^{a b} F. J. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Physical Review. Band 75, Nr. 11, 1. Juni 1949, S. 1736–1755, doi:10.1103/PhysRev.75.1736 (englisch, aps.org [abgerufen am 7. März 2023]).