Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Die gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit verbindet die Begriffe gleichmäßiger und gleichgradiger Stetigkeit.

Seien ${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ metrische Räume, sei ${\displaystyle F\subset C_{b}(X,Y)}$ eine Teilmenge beschränkter, stetiger Funktionen. Die Funktionenfamilie bzw. Funktionenschar ${\displaystyle F}$ heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, wenn gilt^[1]:

Für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existiert ein ${\displaystyle \delta >0}$, so dass für alle ${\displaystyle x,x'\in X}$ und für alle ${\displaystyle f\in F}$ gilt:

${\displaystyle d_{X}(x,x')\leq \delta \Rightarrow d_{Y}\left(f(x),f(x')\right)\leq \varepsilon }$.

Das heißt, wenn man ein ${\displaystyle \varepsilon }$ vorgibt, findet man ein ${\displaystyle \delta }$, so dass die Aussage für alle Funktionen der Familie und für alle Punkte des Raumes gilt. ${\displaystyle \delta }$ hängt also nur von ${\displaystyle \varepsilon }$ ab, weder von ${\displaystyle f}$ noch von ${\displaystyle x}$.

• Besitzen alle Funktionen ${\displaystyle f\in F}$ dieselbe Lipschitzkonstante, so ist die Funktionenfamilie ${\displaystyle F}$ gleichmäßig gleichgradig stetig.

1. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 5.8, Aufgabe 41