Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}$ besteht aus den Punkten ${\displaystyle (x,y)}$ mit rationalen Koordinaten, für die ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen ${\displaystyle a,b,c}$ gegeben, wobei ${\displaystyle c}$ die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt ${\displaystyle ({\tfrac {a}{c}},{\tfrac {b}{c}})}$. Ist umgekehrt ${\displaystyle (x,y)}$ ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten ${\displaystyle xc,yc,c}$, wobei ${\displaystyle c}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ist.

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt ${\displaystyle (1,0)}$. Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist ${\displaystyle (x,y)+(t,u)=(xt-uy,xu+yt)}$. Geometrisch ist dies die Winkeladdition, wenn ${\displaystyle x=\cos(\alpha )}$ und ${\displaystyle y=\sin(\alpha )}$, wobei ${\displaystyle \alpha }$ der Winkel des Radiusvektors ${\displaystyle (x,y)}$ mit dem Radiusvektor ${\displaystyle (1,0)}$ im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also ${\displaystyle (x,y)}$ und ${\displaystyle (t,u)}$ jeweils mit ${\displaystyle (1,0)}$ die Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ bilden, ist deren Summe ${\displaystyle (xt-uy,xu+yt)}$ der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel ${\displaystyle \alpha +\beta }$ im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ mit der komplexen Zahl ${\displaystyle x+yi}$, so entspricht die Addition in ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}$ der Multiplikation in ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Die Gruppe ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}$:

${\displaystyle C(\mathbb {Q} )\cong C_{2}\oplus \left(\bigoplus _{p\in \mathbb {P} , \atop p\equiv 1{\pmod {4}}}C_{p}\right),}$

wobei ${\displaystyle C_{2}}$ die durch ${\displaystyle (0,1)}$ erzeugte Untergruppe ist, und die ${\displaystyle C_{p}}$ jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form ${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}-b^{2}}{p}},{\tfrac {2ab}{p}}\right)}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ,a>b>0,a^{2}+b^{2}=p}$ erzeugt werden, wobei ${\displaystyle p}$ eine Pythagoreische Primzahl ist.

Diese Aussage ist eine Anwendung von Hilberts Satz 90 auf das Problem der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, siehe dazu bei: Lin Tan.

• Lin Tan: The Group of Rational Points on the Unit Circle. In: Mathematics Magazine. Bd. 69, Nr. 3, June 1996, S. 163–171, doi:10.2307/2691462, Digitalisat (PDF; 792 kB) (Memento vom 8. März 2012 im Internet Archive) oder direkt https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1997/0025570x.di021195.02p0087x.pdf.
• Ernest J. Eckert: The Group of Primitive Pythagorean Triangles. In: Mathematics Magazine. Bd. 57, Nr. 1, January 1984, S. 22–26, doi:10.2307/2690291.