Herbrand-Struktur

Eine zu einer prädikatenlogischen Formelmenge F passende Struktur ${\displaystyle A=\left(U,I\right)}$ heißt Herbrand-Struktur, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

• Das Universum ist das aus F generierte Herbrand-Universum, also ${\displaystyle U=D\left(F\right)}$.
• Die Interpretationen I sind Herbrand-Interpretationen.

Bei einer Interpretation werden den Funktions- und Konstantensymbolen tatsächliche Funktionen und Konstanten zugeordnet. Bei der Herbrand-Interpretation weist man jedem Funktionsterm eine Interpretation durch sich selbst zu. Dies ist möglich, da das Herbrand-Universum genau aus der Menge aller möglichen Terme mit Funktions- und Konstantensymbolen besteht. Damit ist eine Herbrand-Struktur eine Terminterpretation.

Beispiel: Sei das Herbrand-Universum ${\displaystyle D\left(F\right)=\{a,f(a),f(f(a)),...\}}$. Dann lautet die Zuordnung zwischen Funktionssymbolen und Elementen aus dem Universum:

${\displaystyle f^{A}(a)=f(a)}$

${\displaystyle f^{A}(f(a))=f(f(a))}$

${\displaystyle f^{A}(f(f(a)))=f(f(f(a)))}$

...

Herbrand-Strukturen werden im Satz von Herbrand verwendet und sind nach Jacques Herbrand benannt.

Herbrand-Interpretation

• H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag 1996, ISBN 3-8274-0130-5