Die negative hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem endlichen Träger. Sie gehört zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und lässt sich aus dem Urnenmodell ableiten.
Definition
Eine Zufallsvariable
auf dem Träger
heißt negativ hypergeometrisch verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
![{\displaystyle f(n)={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}\cdot {\binom {N-n}{M-k}}}{\binom {N}{M}}}={\frac {{\binom {-k}{n-k}}\cdot {\binom {k-M-1}{N-M-n+k}}}{\binom {-M-1}{N-M}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c171d6a13770e4bcaf23f98d2da4dcf78cdbf08)
hat. Dabei ist
. Man schreibt dann
.
Herleitung aus dem Urnenmodell
Die negativ hypergeometrische Verteilung entsteht elementar aus dem Urnenmodell. Betrachtet man eine Urne mit
Kugeln, von denen
markiert sind, und zieht aus dieser Urne ohne Zurücklegen, bis man
markierte Kugeln gezogen hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dafür
Ziehungen zu benötigen, negativ hypergeometrisch verteilt.
Denkt man sich dazu in
Ziehungen nacheinander alle Kugeln einzeln aus der Urne gezogen, dann gibt es insgesamt
Möglichkeiten, die
markierten Kugeln auf die
Ziehungen zu verteilen. Das Ereignis, dass genau im
-ten Zug die
-te markierte Kugel gezogen wird, tritt genau dann ein, wenn in den
Zügen davor
markierte Kugeln gezogen werden und in den
Zügen danach die restlichen
markierten Kugeln. Hierfür gibt es
Möglichkeiten.
Eigenschaften
Erwartungswert
Der Erwartungswert ergibt sich zu
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {k(N+1)}{M+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1db6d67237d64c0b51adaefd532adaa15cbfa75)
Varianz
Für die Varianz erhält man
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {k(M+1-k)(N-M)(N+1)}{(M+1)^{2}(M+2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942c07ea31846716fcbe94025a1a73eaccf3123b)
Weblinks
- A.V. Prokhorov: Negative hypergeometric distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Literatur
- Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
Diskrete univariate Verteilungen
Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt
Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen