Determinantes de Cayley-Menger

La figura cuyos vértices son n {\displaystyle n} puntos de coordenadas ( x 1 1 , , x n 1 ) , , ( x 1 n , , x n n ) {\displaystyle (x_{1}^{1},\cdots ,x_{n}^{1}),\cdots ,(x_{1}^{n},\cdots ,x_{n}^{n})} se llama ( n {\displaystyle n} -1)-símplex. El 2-símplex es el triángulo y el 3-símplex es el tetraedro. Hay una fórmula que da el volumen del n {\displaystyle n} -símplex en términos de las longitudes de sus lados. La parte principal de dicha fórmula es el determinante de Cayley-Menger, así llamado por Blumenthal en 1953[1]​ en honor a Arthur Cayley y Karl Menger. Si denotamos por d ( A B ) {\displaystyle d(AB)} la distancia entre los vértices A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} , etc.., entonces los determinantes de Cayley-Menger para 2, 3 y 4 dimensiones son, respectivamente,

det [ 0 d ( A B ) 2 d ( A C ) 2 1 d ( A B ) 2 0 d ( B C ) 2 1 d ( A C ) 2 d ( B C ) 2 0 1 1 1 1 0 ] , {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}},}
det [ 0 d ( A B ) 2 d ( A C ) 2 d ( A D ) 2 1 d ( A B ) 2 0 d ( B C ) 2 d ( B D ) 2 1 d ( A C ) 2 d ( B C ) 2 0 d ( C D ) 2 1 d ( A D ) 2 d ( B D ) 2 d ( C D ) 2 0 1 1 1 1 1 0 ] , {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&d(AD)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&d(BD)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&d(CD)^{2}&1\\d(AD)^{2}&d(BD)^{2}&d(CD)^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}},}
det [ 0 d ( A B ) 2 d ( A C ) 2 d ( A D ) 2 d ( A E ) 2 1 d ( A B ) 2 0 d ( B C ) 2 d ( B D ) 2 d ( B E ) 2 1 d ( A C ) 2 d ( B C ) 2 0 d ( C D ) 2 d ( C E ) 2 1 d ( A D ) 2 d ( B D ) 2 d ( C D ) 2 0 d ( D E ) 2 1 d ( A E ) 2 d ( B E ) 2 d ( C E ) 2 d ( D E ) 2 0 1 1 1 1 1 1 0 ] . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&d(AD)^{2}&d(AE)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&d(BD)^{2}&d(BE)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&d(CD)^{2}&d(CE)^{2}&1\\d(AD)^{2}&d(BD)^{2}&d(CD)^{2}&0&d(DE)^{2}&1\\d(AE)^{2}&d(BE)^{2}&d(CE)^{2}&d(DE)^{2}&0&1\\1&1&1&1&1&0\end{bmatrix}}.}

La forma de los determinantes en más dimensiones sigue este patrón. Si denotamos con C M {\displaystyle CM} al determinante de Cayley-Menger, entonces el n {\displaystyle n} -volumen del n {\displaystyle n} -símplex es

( 1 ) n + 1 2 n ( n ! ) 2 C M . {\displaystyle {\sqrt {{(-1)^{n+1} \over 2^{n}(n!)^{2}}CM}}.}

Una fórmula parecida para el caso bidimensional fue descubierta por Herón. El caso tridimensional lo descubrió Tartaglia.

Referencias

  1. Wirth, Karl; Dreiding, André S. (2009). «Edge lengths determining tetrahedrons». Elemente der Mathematik (Swiss Mathematical Society,) 64: 160-170.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

Enlaces externos

  • Weisstein, Eric W. «Cayley-MengerDeterminant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
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