Espacio cuasi completo

En análisis funcional, se dice que un espacio vectorial topológico (EVT) es cuasi completo (también escrito en ocasiones cuasicompleto, cuasi-completo, o casi completo) o limitadamente completo,^[1]​ si todos sus subconjuntos cerrados y acotados también son completos.^[2]​ Este concepto es de considerable importancia para los EVTs no metrizables.^[2]​

Propiedades

• Cada EVT cuasi completo es secuencialmente completo.^[2]​
• En un espacio localmente convexo cuasi completo, la clausura de la envolvente convexa de un subconjunto compacto vuelve a ser compacta.^[3]​
• En un EVT de Hausdorff cuasi completo, cada subconjunto precompacto es relativamente compacto.^[2]​
• Si X es un espacio vectorial normado e Y es un EVT localmente convexo cuasi completo, entonces el conjunto de todos los operadores compactos de X sobre Y es un subespacio vectorial cerrado de ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$.^[4]​
• Cada espacio infrabarrilado casi completo es barrilado.^[5]​
• Si X es un espacio localmente convexo casi completo, entonces cada subconjunto débilmente acotado del espacio dual continuo está fuertemente acotado.^[5]​
• Si un espacio nuclear es cuasi completo, entonces X cumple el teorema de Heine-Borel.^[6]​

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada EVT completo es cuasi completo.^[7]​ El producto de cualquier colección de espacios cuasi completos es nuevamente cuasi completo.^[2]​ El límite proyectivo de cualquier colección de espacios cuasi completos es nuevamente cuasi completo.^[8]​ Cada espacio semirreflexivo es cuasi completo.^[9]​

El cociente de un espacio cuasi completo por un subespacio vectorial cerrado puede no ser cuasi completo.

Contraejemplos

Existe un espacio LB que no es cuasi completo.^[10]​

Véase también

• Espacio vectorial topológico completo
• Espacio uniforme

Referencias

Bibliografía

• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics (en inglés) 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (en inglés) (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (en inglés) 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels (en inglés). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces (en inglés). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114. 
• Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products. Lecture Notes in Mathematics (en inglés) 726. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.