Notación multi-índice

La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente, un multi-índice ${\displaystyle \alpha \,}$ es una n-tupla de números enteros, cuya medida ${\displaystyle |\alpha |\,}$ viene dada por:

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n},\qquad |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}}$

Se define ${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!}$ Esta notación multi-índice simplifica muchas fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable, en las ecuaciones diferenciales parciales o en la teoría de distribuciones, al generalizar el concepto de una índice entera a una tupla ordenada de índices.

Derivación

Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:

${\displaystyle D^{\alpha }f\equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\,.}$

Polinomios

Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios ${\displaystyle K[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$. La expresión ${\displaystyle X^{\alpha }}$, escrita mediante multi-índice ${\displaystyle \alpha }$, representa el monomio de n variables dado por

${\displaystyle X^{\alpha }\equiv X_{1}^{\alpha _{1}}X_{2}^{\alpha _{2}}\dots X_{n}^{\alpha _{n}}}$.

Otros contextos y sus propiedades básicas

Un n -dimensional multiíndice es una n-tupla

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

de enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto de números naturales de n, denotado ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$).

Para los multiíndices ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ y ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ se define:

Suma y diferencia por componentes

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Orden parcial

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Suma de componentes (valor absoluto)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Factorial

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Coeficiente binomial

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

Coeficiente multinomial

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$$

donde ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

Potencias

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

Derivada parcial de orden superior

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}}$$

where ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$

(véase también 4-gradiente). A veces también se utiliza la notación ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$.^[1]​

Referencias