Käyrän pituus

Käyrän pituus, s, funktiolle f saadaan integraalina

${\displaystyle \displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}$

^[1]

Olkoon funktio f määritelty suljetulla välillä ${\displaystyle [a,b]}$, jolloin voidaan muodostaa f:n rajoittuma tälle välille eli ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$, missä ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ kaikilla ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Lisäksi vaaditaan, että funktiolla f on jatkuva derivaatta f'. Olkoon K funktion g kuvaaja.

Määritellään piste P_i joksikin kuvaajan K pisteeksi (${\displaystyle x_{i},f(x_{i}))}$, ${\displaystyle x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}}$ ja ${\displaystyle x_{0}=a,x_{n}=b}$.

Tällöin kuvaajan K pituus on peräkkäisten pisteiden ${\displaystyle (P_{i},P_{i+1})}$, jossa ${\displaystyle i\in [0,n-1]}$, välisten etäisyyksien summan raja-arvo, kun välin jakoa tihennetään rajatta.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}|{P_{i-1}P_{i}}|&=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+[f(x_{i})-f(x_{i-1})]^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\left(1+{\frac {[f(x_{i})-f(x_{i-1})]^{2}}{\Delta x^{2}}}\right)\Delta x^{2}}},\,\Delta x=(x_{i}-x_{i-1})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\left(1+\left({\frac {f(x_{i})-f(x_{i-1})}{\Delta x}}\right)^{2}\right)}}\Delta x\\\end{aligned}}}$

Kun Δx → 0, termi ${\displaystyle {\frac {f(x_{i})-f(x_{i-1})}{\Delta x}}=f'(x)}$

Saadaan integraali:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(ds)^{2}&{}=(dx)^{2}+(dy)^{2}\\L&{}=\int \ ds\\&{}=\int \ {\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\\&{}=\int \ {\sqrt {(dx)^{2}\left[{1+\left({dy \over dx}\right)^{2}}\right]}}\\L&{}=\int _{}^{}{\sqrt {1+\left({dy \over dx}\right)^{2}}}dx\end{aligned}}}$