Kuula (matematiikka)

Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja, jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä, jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.

Jos ${\textstyle (X,d)}$ on metrinen avaruus sekä ${\textstyle \mathbf {a} \in X}$ ja ${\textstyle r>0}$, niin joukko

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)<r\right\}}$

on avoin kuula, jonka keskipiste on ${\textstyle \mathbf {a} }$ ja säde ${\textstyle r}$ sekä

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)\leq r\right\}}$

on suljettu kuula, jonka keskipiste on ${\textstyle \mathbf {a} }$ ja säde ${\textstyle r}$.^[1] Lisäksi määritellään joukko

${\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)=r\right\}}$,

joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa ${\textstyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ sanotaan myös pisteen ${\textstyle \mathbf {a} }$ kuulaympäristöksi.^[1]

Ominaisuuksia

Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=B\left(\mathbf {a} ,r\right)\cup S\left(\mathbf {a} ,r\right)}$^[1]

Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus S\left(\mathbf {a} ,r\right)}$^[1]

Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:

${\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$^[1]

Metriikan määritelmästä johtuen ${\textstyle d\left(\mathbf {a} ,\mathbf {a} \right)=0}$, joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:

${\displaystyle \mathbf {a} \in B\left(\mathbf {a} ,r\right)\subset {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$^[1]

Osajoukon kuulat

Metrisen avaruuden ${\textstyle (X,d)}$ osajoukossa ${\textstyle A\subset X}$ avointa kuulaa merkitään ${\textstyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$:llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka ''mahtuvat'' joukkoon ${\textstyle A}$. Toisin sanoen ${\textstyle \mathbf {x} \in B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$, jos ja vain, jos ${\textstyle \mathbf {x} \in A}$ (ja ${\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)<r}$). Näin ollen

${\displaystyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$.

Vastaava pätee myös suljetuille kuulille:

${\displaystyle {\bar {B}}_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$. ^[1]

Esimerkkejä

Avoin ja suljettu väli

Avaruudessa ${\textstyle \mathbb {R} }$, varustettuna metriikalla ${\textstyle d(x,y)=|x-y|}$, on avoin kuula ${\displaystyle B\left(a,r\right)}$ avoin väli:

${\displaystyle B\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<r\right\}=\,]a-r,a+r[}$

Vastaavasti suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)}$ on suljettu väli:

${\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|\leq r\right\}=[a-r,a+r]}$

Yksiulotteinen vastaava pallo koostuu puolestaan vain kahdesta reaaliluvusta:

${\displaystyle S(a,r)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|=r\right\}=\left\{a-r,a+r\right\}}$

Kiekko ja kuula

Varustetaan avaruus ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ metriikalla ${\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}}}$. Jos ${\displaystyle n=2}$, niin avoin kuula ${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ on reunaton kiekko:

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}<r^{2}\right\}}$

Vastaavasti suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ on kiekko:

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}\leq r^{2}\right\}}$

Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko, jonka reunakäyrä on yksikköympyrä, on suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(0,1\right)}$. Jos ${\displaystyle n=3}$, niin suljettu kuula ${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}\leq r^{2}\right\}}$

Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros. Origokeskinen pallo, jonka säde on 1 on puolestaan yksikköpallo ${\displaystyle S(0,1)}$.

{0,1}-metriikan kuula

Olkoon ${\displaystyle X}$mielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka

${\displaystyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\begin{cases}0,&{\text{jos}}~\mathbf {x} =\mathbf {y} \\1,&{\text{jos}}~\mathbf {x} \neq \mathbf {y} \end{cases}}}$

Tällöin

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\begin{cases}\{\mathbf {a} \},&{\text{jos}}~r\leq 1\\X,&{\text{jos}}~r>1\end{cases}}}$^[1]

Lähteet