Yhdistetty funktio

Matematiikassa yhdistetyllä funktiolla tarkoitetaan kahta funktiota siten, että ensiksi muuttuja kuvataan ensimmäisellä funktiolla joksikin arvoksi ja sitten saatu tulos kuvataan toisella funktiolla uudeksi arvoksi. Täsmällisesti:

Olkoon ${\displaystyle f:Y\to Z}$ ja ${\displaystyle g:X\to Y}$ kuvauksia. Tällöin yhdistetty funktio ${\displaystyle f\circ g}$ (luetaan "f pallo g") tarkoittaa kuvausta, jolle ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$ kaikilla ${\displaystyle x\in X}$. ^[1] Yhdistetty funktio ${\displaystyle f\circ g}$ on kuvaus ${\displaystyle f\circ g:X\to Z}$.

Derivaatta

Jos f ja g ovat reaalilukujen reaaliarvoisia funktioita ja jos lisäksi ${\displaystyle g}$ on derivoituva pisteessä ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle f}$ derivoituva pisteessä ${\displaystyle g(x)}$, voidaan yhdistetty funktio ${\displaystyle f\circ g}$ ketjusäännön avulla:

${\displaystyle D(f\circ g)(x)=f'(g(x))g'(x)}$,

missä ' tarkoittaa derivaattaa ${\displaystyle x}$:n suhteen.^[2] Leibnizin merkintää käytettäessä sääntö saa muodon

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}$.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).