Conjecture d'Agoh-Giuga

En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli B k {\displaystyle B_{k}} énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :

p B p − 1 ≡ − 1 ( mod p ) . {\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\,.}

(La notation a ≡ b ( mod p ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}} signifie que p divise le numérateur de a − b {\displaystyle a-b} mais pas le dénominateur de a − b {\displaystyle a-b} .)

La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le théorème de von Staudt-Clausen, que p B 2 m ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle pB_{2m}\equiv -1{\pmod {p}}} pour tout nombre premier p tel que p − 1 {\displaystyle p-1} divise 2m et que 2 B 1 ≡ − 1 ( mod 2 ) {\displaystyle 2B_{1}\equiv -1{\pmod {2}}\,} .

La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :

1 p − 1 + 2 p − 1 + ⋯ + ( p − 1 ) p − 1 ≡ − 1 ( mod p ) ( 1 ) {\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\qquad (1)} .

Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh[1].

Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Giuga a démontré qu'un possible contre-exemple n {\displaystyle n} (c'est-à-dire un nombre composé vérifiant la congruence (1)) est un nombre de Carmichael[2] ; il a vérifié la conjecture pour n < 10 1000  ; Edmondo Bedocchi l'a vérifié pour n < 10 1700 , et en 1996 Borwein et d'autres sont allés jusqu'à n < 10 13800 . Laerte Sorini, enfin, dans un ouvrage de 2001, a montré qu'un contre-exemple éventuel devait être un nombre n supérieur à 10 36067 qui est la limite suggérée par Bedocchi pour des raisons techniques à la démonstration indiquée par Giuga à sa propre conjecture.

Notes et références

Notes

  1. ↑ Proposition 5 de l'article d'Agoh.
  2. ↑ Proposition 4 de l'article d'Agoh.

Références

  • (it) G. Giuga,« Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi » dans I° Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83 (1950), 511-528.
  • (it) E. Bedocchi,« Nota ad una congettura sui numeri primi , Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
  • (en) T. Agoh, « On Giuga’s conjecture » dans Manuscripta Math. 87(4) (1995), 501-10.
  • (en) D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein and R. Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
  • (it) L. Sorini, « Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga » dans Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica , n. 68, Ottobre (2001).
  • (en) J. M. Borwein, M. Skerritt and C. Maitland, « Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture » dans Integers 13 (2013).
v · m
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