Filtration de Jantzen

En théorie des représentations, la filtration de Jantzen est une filtration d'un module de Verma (en) d'une algèbre de Lie semi-simple, ou d'un module de Weyl (en) d'un groupe algébrique réductif de caractéristique positive. Les filtrations de Jantzen ont été introduites dans (Jantzen 1979).

Filtration de Jantzen pour les modules de Verma

Si M(λ) est un module de Verma d'une algèbre de Lie semi-simple de plus haut poids λ, alors la filtration de Janzen est une filtration décroissante

M ( λ ) = M ( λ ) 0 ⊇ M ( λ ) 1 ⊇ M ( λ ) 2 ⊇ ⋯ . {\displaystyle M(\lambda )=M(\lambda )^{0}\supseteq M(\lambda )^{1}\supseteq M(\lambda )^{2}\supseteq \cdots .}

Elle possède les propriétés suivantes :

  • M(λ)1 = N(λ), l'unique sous-module propre maximal de M(λ) ;
  • les quotients M(λ)i/M(λ)i+1 admettent une forme bilinéaire contravariante (en) non dégénérée ;
  • la formule de la somme de Jantzen est satisfaite :
∑ i > 0 ch ( M ( λ ) i ) = ∑ α > 0 ,   s α ( λ ) < λ ch ( M ( s α ⋅ λ ) ) {\displaystyle \sum _{i>0}{\text{ch}}(M(\lambda )^{i})=\sum _{\alpha >0,\ s_{\alpha }(\lambda )<\lambda }{\text{ch}}(M(s_{\alpha }\cdot \lambda ))}
où ch ( ⋅ ) {\displaystyle {\text{ch}}(\cdot )} désigne le caractère formel (en).

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jantzen filtration » (voir la liste des auteurs).
  • Alexander Beilinson et Joseph Bernstein, « A proof of Jantzen conjectures », dans Sergei Gelʹfand et Simon Gindikin, I. M. Gelʹfand Seminar, vol. 16, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Adv. Soviet Math. », , 1-50 p. (ISBN 978-0-8218-4118-1, lire en ligne)
  • James E. Humphreys, Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O, vol. 94, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics », (ISBN 978-0-8218-4678-0, MR 2428237, présentation en ligne)
  • Jens Carsten Jantzen, Moduln mit einem höchsten Gewicht, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 750), (ISBN 978-3-540-09558-3, DOI 10.1007/BFb0069521, MR 552943)
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