Loi des cotangentes

Fig. 1. Notations usuelles dans un triangle.

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En géométrie du triangle, la loi des cotangentes est une relation entre les longueurs a, b et c des côtés d'un triangle et les cotangentes de ses angles moitiés α/2, β/2 et γ/2 :

{\frac {\cot({\tfrac {\alpha }{2}})}{p-a}}={\frac {\cot({\tfrac {\beta }{2}})}{p-b}}={\frac {\cot({\tfrac {\gamma }{2}})}{p-c}}={\frac {1}{r}},

où p = a + b + c/2 désigne le demi-périmètre et r le rayon du cercle inscrit.

Démonstration

Découpons le triangle (cf. Fig. 2) en six triangles rectangles, symétriques deux par deux par rapport aux bissectrices et de côtés (AM, r, x), (BM, r, y) et (CM, r, z), avec x + y = c, y + z = a et z + x = b. Alors, 2x + a = 2x + y + z = b + c donc x = b + c – a/2 = p – a donc cot(α/2) = x/r = p – a/r donc cot(α/2)/p – a = 1/r. De même, cot(β/2)/p – b = 1/r et cot(γ/2)/p – c = 1/r.

Corollaire

On déduit de la loi des cotangentes une expression du rayon r du cercle inscrit, en fonction des longueurs des côtés (et de leur demi-somme p) :

r={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.

En effet, la somme des angles α/2, β/2 et γ/2 est égale à π/2 donc sa cotangente est nulle, c'est-à-dire (d'après la formule d'addition pour les cotangentes) que le produit et la somme des cotangentes de ces trois angles sont égaux, donc

(p-a)(p-b)(p-c)=r^{3}\cot({\tfrac {\alpha }{2}})\cot({\tfrac {\beta }{2}})\cot({\tfrac {\gamma }{2}})=r^{3}\left[\cot({\tfrac {\alpha }{2}})+\cot({\tfrac {\beta }{2}})+\cot({\tfrac {\gamma }{2}})\right]=r^{2}\left[(p-a)+(p-b)+(p-c)\right]=r^{2}p,

d'où l'expression annoncée.

Puisque (cf. Fig. 2) l'aire du triangle est S = rp, cette expression de r équivaut à la formule de Héron :

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Voir aussi

Loi des cosinus
Loi des sinus
Loi des tangentes

v · m

Trigonométrie

Trigonométrie du cercle

Fonctions trigonométriques	Cosinus Sinus Tangente Cotangente Sécante Cosécante sinus verse
Fonctions circulaires réciproques	Arc cosinus Arc sinus Arc tangente Arc cotangente Arc sécante Arc cosécante
Intégrales trigonométriques	Cosinus intégral Sinus intégral
Relations	Identité trigonométrique Identité trigonométrique pythagoricienne Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes

Trigonométrie hyperbolique

Fonction hyperbolique	Cosinus hyperbolique Sinus hyperbolique Tangente hyperbolique Cotangente hyperbolique Sécante hyperbolique Cosécante hyperbolique
Fonction hyperbolique réciproque	Cosinus hyperbolique réciproque Sinus hyperbolique réciproque Tangente hyperbolique réciproque Cotangente hyperbolique réciproque Sécante hyperbolique réciproque Cosécante hyperbolique réciproque

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron