Médiane des médianes

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Pour les articles homonymes, voir Médiane.

Médiane des médianes
Découvreurs ou inventeurs
Manuel Blum, Robert Floyd, Vaughan Pratt (en), Ronald Rivest, Robert TarjanVoir et modifier les données sur Wikidata
Date de découverte
[1]Voir et modifier les données sur Wikidata
Problème lié
Structure des données
TableauVoir et modifier les données sur Wikidata
Basé sur
QuickselectVoir et modifier les données sur Wikidata
Complexité en temps
Pire cas
O ( n ) {\displaystyle O(n)} Voir et modifier les données sur Wikidata
Meilleur cas
O ( n ) {\displaystyle O(n)} Voir et modifier les données sur Wikidata
Complexité en espace
Pire cas
O ( log ⁡ n ) {\displaystyle O(\log n)} Voir et modifier les données sur Wikidata

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En informatique, la médiane des médianes est un algorithme de sélection pour trouver le k-ième élément le plus grand au sein d'un tableau initialement non triée. Il est basé sur l'algorithme Quickselect. Cet algorithme est optimal dans le pire cas, avec une complexité en temps linéaire. La brique de base de l'algorithme est la sélection d'une médiane approchée en temps linéaire. L'algorithme de la médiane des médianes fut publié par Blum, Floyd, Pratt (en), Rivest et Tarjan en 1973 dans Time bounds for selection[2], et est parfois appelé BFPRT d'après les initiales des noms des auteurs.

Principe général de l'algorithme

L'algorithme se déroule en 3 étapes :

  1. Calcul des médianes. L'algorithme divise le tableau en groupes de cinq éléments. Ensuite, pour chaque groupe de cinq, la médiane est calculée (une opération qui peut s'effectuer en temps constant, par exemple en utilisant un algorithme de tri[3]). On obtient alors une sous-liste constituée de ces n / 5 {\displaystyle n/5} médianes.
  2. Calcul de la médiane des médianes. L'algorithme est appelé récursivement sur cette sous-liste de n / 5 {\displaystyle n/5} éléments pour trouver la vraie médiane de ces éléments, que l'on appelle la médiane des médianes. On peut alors garantir que l'élément obtenu se place entre le 30e et le 70e centile.
  3. Appels récursifs. Enfin, la médiane des médianes est choisie pour être le pivot. Selon la position de l'élément recherché, l'algorithme recommence avec les éléments au-dessus du pivot ou en dessous, qui représentent au plus 70 % de la taille initiale de l'espace de recherche.

Exemple d'exécution

Le fond de cette section est à vérifier (juillet 2023) : Il vaut bien vérifier que les éléments sont bien reportés.
Améliorez-le ou discutez des points à vérifier. Si vous venez d’apposer le bandeau, merci d’indiquer ici les points à vérifier.

Exécutons l'algorithme sur le tableau [13, 12, 17, 96, 22, 15, 23, 16, 45, 95, 11, 24, 14, 38, 94, 8, 2, 53, 86, 28, 10, 9, 29, 61, 89, 26, 5, 30, 41, 69, 6, 0, 68, 62, 31, 97, 36, 33, 7, 82, 3, 42, 4, 54, 73, 21, 47, 92, 48, 27, 74, 59, 50, 49, 44, 88, 55, 57, 46, 40, 1, 99, 71, 58, 52, 18, 25, 84, 78, 60, 20, 51, 63, 64, 75, 32, 90, 80, 65, 34, 19, 66, 70, 77, 43, 35, 56, 93, 76, 67, 37, 72, 98, 85, 81, 91, 39, 83, 87, 79].

Étape 1

Commençons par faire des paquets de cinq :

[13, 12, 17, 96, 22, | 15, 23, 16, 45, 95, | 11, 24, 14, 38, 94, | 8, 2, 53, 86, 28, | 10, 9, 29, 61, 89, | 26, 5, 30, 41, 69, | 6, 0, 68, 62, 31, | 97, 36, 33, 7, 82, | 3, 42, 4, 54, 73, | 21, 47, 92, 48, 27, | 74, 59, 50, 49, 44, 88, 55, 57, 46, 40, 1, 99, 71, 58, 52, | 18, 25, 84, 78, 60, | 20, 51, 63, 64, 75, | 32, 90, 80, 65, 34, | 19, 66, 70, 77, 43, | 35, 56, 93, 76, 67, | 37, 72, 98, 85, 81, | 91, 39, 83, 87, 79]

que l'on visualise verticalement dans le tableau suivant :

13 15 11 2 9 5 0 7 3 21 44 40 1 18 20 32 19 35 37 39
12 23 24 8 10 26 6 33 4 27 49 46 52 25 51 34 43 56 72 79
17 16 14 28 29 30 31 36 42 47 50 55 58 60 63 65 66 67 81 83
96 45 38 53 61 41 62 82 54 48 59 57 71 78 64 80 70 76 85 87
22 95 94 86 89 69 68 97 73 92 74 88 99 84 75 90 77 93 98 91

Trions ensuite chaque paquets afin de récupérer les médianes de chacun d'eux (qui se trouvent sur la troisième ligne) :

12 15 11 2 9 5 0 7 3 21 44 40 1 18 20 32 19 35 37 39
13 16 14 8 10 26 6 33 4 27 49 46 52 25 51 34 43 56 72 79
Médianes 17 23 24 28 29 30 31 36 42 47 50 55 58 60 63 65 66 67 81 83
22 45 38 53 61 41 62 82 54 48 59 57 71 78 64 80 70 76 85 87
96 95 94 86 89 69 68 97 73 92 74 88 99 84 75 90 77 93 98 91

Étape 2

Le calcul de la médiane des médianes se fait récursivement en appelant l'algorithme sur la liste des médianes :

12 15 11 2 9 5 0 7 3 21 44 40 1 18 20 32 19 35 37 39
13 16 14 8 10 26 6 33 4 27 49 46 52 25 51 34 43 56 72 79
Médianes 17 23 24 28 29 30 31 36 42 47 50 55 58 60 63 65 66 67 81 83
22 45 38 53 61 41 62 82 54 48 59 57 71 78 64 80 70 76 85 87
96 95 94 86 89 69 68 97 73 92 74 88 99 84 75 90 77 93 98 91

Étape 3

Finalement, on appelle récursivement sur les éléments plus petit que 47 (en gris) si l'on sait que le k-ième élément est là, ou sur les éléments plus grand que 47.

12 15 11 2 9 5 0 7 3 21 44 40 1 18 20 32 19 35 37 39
13 16 14 8 10 26 6 33 4 27 49 46 52 25 51 34 43 56 72 79
Médianes 17 23 24 28 29 30 31 36 42 47 50 55 58 60 63 65 66 67 81 83
22 45 38 53 61 41 62 82 54 48 59 57 71 78 64 80 70 76 85 87
96 95 94 86 89 69 68 97 73 92 74 88 99 84 75 90 77 93 98 91

Propriétés du pivot

Parmi les n / 5 {\displaystyle n/5} groupes, la moitié ont leur médiane en dessous du pivot (la médiane des médianes), ce qui garantit au moins 3 n / 10 {\displaystyle 3n/10} éléments en dessous du pivot (3 parmi chacun des n / 10 {\displaystyle n/10} groupes). Ainsi, le pivot choisi est à la fois inférieur à environ 3 n / 10 {\displaystyle 3n/10} éléments et plus grand que 3 n / 10 {\displaystyle 3n/10} éléments. Ainsi, la médiane divise les éléments choisis quelque part entre 30 %⁄70 % et 70 %⁄30 %, ce qui assure dans le pire des cas un comportement linéaire de l'algorithme.

Algorithme en temps linéaire

Dans cette section, nous montrons que l'algorithme est en temps linéaire en le nombre d'éléments, c'est-à-dire que le nombre d'étapes réalisées par l'algorithme est un O ( n ) {\displaystyle O(n)} où n {\displaystyle n} est le nombre d'éléments dans la liste. On note T ( n ) {\displaystyle T(n)} le temps d’exécution de l'algorithme sur une entrée de taille n {\displaystyle n} . On a la récurrence suivante :

T ( n ) ≤ T ( n / 5 ) + T ( 7 n / 10 ) + c ⋅ n {\displaystyle T(n)\leq T(n/5)+T(7n/10)+c\cdot n}

où

  • le terme T ( n / 5 ) {\displaystyle T(n/5)} est la recherche de la médiane parmi les n / 5 {\displaystyle n/5} médianes de quintuplet.
  • le terme c ⋅ n {\displaystyle c\cdot n} est le coût du travail de calcul de la sous-liste des n / 5 {\displaystyle n/5} médianes, ainsi que le coût de partitionnement autour du pivot.
  • le terme T ( 7 n / 10 ) {\displaystyle T(7n/10)} est le coût de l'appel récursif (dans le pire cas) pour trouver le k-ième élément dans la partition correspondante.

De cette formule on vérifie par récurrence sur n {\displaystyle n}  :

T ( n ) ≤ 10 ⋅ c ⋅ n {\displaystyle T(n)\leq 10\cdot c\cdot n}

Ainsi T ( n ) {\displaystyle T(n)} est un O ( n ) . {\displaystyle O(n).}

Autres usages de la médiane

La sélection d'une médiane approchée en temps linéaire peut aussi être utilisée pour garantir au tri rapide une complexité en O ( n log ⁡ n ) {\displaystyle O(n\log n)} dans le pire cas. Dans les deux cas, l'utilisation de la médiane est en moyenne moins efficace que le choix d'un pivot aléatoire, qui évite le surcoût du calcul du pivot.

Voir aussi

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Selection algorithm » (voir la liste des auteurs).

Notes et références

  1. ↑ (en) Manuel Blum, Robert W. Floyd, Vaughan Pratt, Ronald L. Rivest et Robert E. Tarjan, « Time bounds for selection », Journal of Computer and System Sciences, Elsevier, vol. 7, no 4,‎ , p. 448-461 (ISSN 0022-0000 et 1090-2724, DOI 10.1016/S0022-0000(73)80033-9)Voir et modifier les données sur Wikidata
  2. ↑ (en) M. Blum, R. W. Floyd, V. Pratt, R. Rivest et R. Tarjan, « Time bounds for selection », J. Comput. System Sci., vol. 7,‎ , p. 448-461
  3. ↑ (en) Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest et Clifford Stein, Introduction to Algorithms, MIT Press, , 3e éd. [détail de l’édition]
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