Opérateur accrétif

En mathématiques, un opérateur accrétif est une multifonction définie entre espaces de Banach, qui possède une propriété de monotonie analogue à celle que possède un opérateur monotone sur un espace de Hilbert.

Multifonction

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux ensembles. Une fonction multivaluée, ou multifonction ${\displaystyle T:E\multimap F}$ est une application de ${\displaystyle E}$ dans l'ensemble des parties de ${\displaystyle F}$. Son graphe est noté ${\displaystyle {\mathcal {G}}(T)}$.

Définition

Soit ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ un espace vectoriel normé.

On dit qu'un opérateur ${\displaystyle T:E\multimap E}$ est accrétif si pour tout ${\displaystyle \lambda >0}$, pour tout ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\in {\mathcal {G}}(T)}$ et pour tout ${\displaystyle (x_{2},y_{2})\in {\mathcal {G}}(T)}$, on a

${\displaystyle \|x_{1}-x_{2}\|\leq \|(x_{1}-x_{2})+\lambda (y_{1}-y_{2})\|.}$

L'accrétivité est une manière d'exprimer la monotonicité d'un opérateur dans un espace dépourvu de produit scalaire (voir ce résultat).

On voit que si ${\displaystyle T}$ est accrétif, quel que soit ${\displaystyle \lambda >0}$ et ${\displaystyle z\in E}$, l'inclusion ${\displaystyle x+\lambda T(x)\ni z}$ a au plus une solution ${\displaystyle x}$.

Bibliographie

• Haïm Brezis, Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, Amsterdam, North-Holland, coll. « Mathematics Studies » (n^o 5), 1973, 182 p. (ISBN 978-0-08-087116-5, lire en ligne), p. 21
• (en) Tosio Kato, « Accretive operators and nonlinear evolution equations in Banach spaces », dans F. Browder, Nonlinear Functional Analysis, AMS, coll. « Proc. Symp. Pure Math. » (n^o 18, Part I), 1970, p. 138-161

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