Opérateur bilaplacien

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L'opérateur bilaplacien, ou opérateur biharmonique est, comme son nom le suggère, le nom donné à l'opérateur laplacien appliqué deux fois.

Expression

Dans un système de coordonnées cartésiennes ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$, le bilaplacien s'écrit

${\displaystyle \Delta ^{2}=\nabla ^{4}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{4}}{\partial x_{i}^{2}\partial x_{j}^{2}}}}$.

D'autre part, dans un espace euclidien de dimension ${\displaystyle n}$, la relation suivante est toujours vérifiée :

${\displaystyle \Delta ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)={\frac {3(15-8n+n^{2})}{r^{5}}}}$

avec ${\displaystyle r}$ la distance euclidienne :

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}=\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$.

Voir aussi

• Opérateur laplacien
• Équation biharmonique
• Fonction harmonique

Référence

• (en) Le bilaplacien sur le site MathWorld

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de la divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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