Théorème de Poincaré-Bertrand

Le théorème de Poincaré-Bertrand concerne le réarrangement des termes pour le calcul de certaines intégrales impropres. Il a été établi par Henri Poincaré^[1] et Gaston Bertrand^[2],[3], ainsi que par Godfrey Harold Hardy^[4].

Énoncé

Soit Γ une courbe fermée ou ouverte dans le plan complexe, soit f (τ,τ') une fonction définie sur Γ (généralement de valeur complexe) et continue au sens de Hölder par rapport à τ et τ', et soit t un point sur Γ sauf une extrémité si Γ est ouvert, alors^[5]

${\displaystyle {\text{v.p.}}\int _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} \tau }{\tau -t}}\;\times \;{\text{v.p.}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\tau ,\tau ')}{\tau '-\tau }}\mathrm {d} \tau '=-\pi ^{2}f(t,t)+{\text{v.p.}}\int _{\Gamma }\mathrm {d} \tau '\int _{\Gamma }{\frac {f(\tau ,\tau ')}{(\tau -t)(\tau '-\tau )}}\mathrm {d} \tau }$

où v.p. est la valeur principale de Cauchy

Dans le cas particulier d'une fonction f(τ) dépendant d'une seule variable et définie sur une courbe fermée alors

${\displaystyle {\text{v.p.}}\int _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} \tau }{\tau -t}}\;{\text{v.p.}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\tau ')}{\tau '-\tau }}\mathrm {d} \tau '=-\pi ^{2}f(t)}$

Cette expression est valide pour tout t si f est continue au sens de Hölder ou presque tout t si f ∈ L^p,  p > 1

Références

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