Generátorrendszer (lineáris algebra)

A lineáris algebrában egy vektortér generátorrendszere egy olyan részhalmaz, aminek elemeinek lineáris kombinációjaként bármely vektor kifejezhető. Duális fogalma a lineárisan független rendszer. A vektortér bázisa egy minimális generátorrendszer (és egyben maximális lineárisan független rendszer). Egy vektortér végesen generált, ha van véges generátorrendszere.

Definíció

Az a1,…,an ∈ V vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az ai vektorok lineáris kombinációjaként.

Példák

  • minden bázis egyben egy generátorrendszer is,
  • maga a V vektortér is generátorrendszer,

Koordinátatér

Az euklidészi sík standard bázisvektorai
Két különböző generátorrendszer: a v {\displaystyle v} vektor kifejezhető úgy, mint v = x e 1 + y e 2 {\displaystyle v=xe_{1}+ye_{2}} és úgy is, mint v = f 1 + f 2 {\displaystyle v=f_{1}+f_{2}}

Egy valós V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} vektortér egy generátorrendszere a standard bázisvektorokból áll:

e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 ) {\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\dotsc ,0),e_{2}=(0,1,0,\dotsc ,0),\dotsc ,e_{n}=(0,0,0,\dotsc ,1)} .

Valójában, minden v = ( v 1 , … , v n ) ∈ R n {\displaystyle v=(v_{1},\dotsc ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} vektor előáll, mint:

v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + ⋯ + v n e n {\displaystyle v=v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2}+\dotsb +v_{n}e_{n}} ,

ahol v 1 , … , v n ∈ R {\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in \mathbb {R} } ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációját jelenti.

További generátorrendszerek előállíthatók felesleges vektorok hozzávételével. Vannak azonban olyan generátorrendszerek, amelyek nem tartalmazzák az e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}} vektorokat. Például

f 1 = ( − 1 , 1 , 0 , … , 0 ) , f 2 = ( 0 , − 1 , 1 , … , 0 ) , … , f n = ( 0 , 0 , 0 , … , − 1 ) {\displaystyle f_{1}=(-1,1,0,\dotsc ,0),f_{2}=(0,-1,1,\dotsc ,0),\dotsc ,f_{n}=(0,0,0,\dotsc ,-1)}

szintén R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} generátorrendszere, amivel minden v = ( v 1 , … , v n ) ∈ R n {\displaystyle v=(v_{1},\dotsc ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} kifejezhető, mint:

v = ( − v 1 ) f 1 + ( − v 1 − v 2 ) f 2 + ⋯ + ( − v 1 − v 2 − ⋯ − v n ) f n {\displaystyle v=(-v_{1})f_{1}+(-v_{1}-v_{2})f_{2}+\dotsb +(-v_{1}-v_{2}-\dotsb -v_{n})f_{n}}

Polinomterek

Az R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} egy nem végesen generált vektortér, ami az x {\displaystyle x} szerint egyváltozós valós polinomok halmaza. Egy generátorrendszere a monomokból áll:

E = { 1 , x , x 2 , … , x k , … } {\displaystyle E=\{1,x,x^{2},\dotsc ,x^{k},\dotsc \}} .

Ez egy generátorrendszer, mivel minden n {\displaystyle n} -edfokú polinom előáll, mint:

f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n}} ,

azaz monomok véges lineáris kombinációja. Itt is vannak más generátorrendszerek, például a Legendre-polinomok, vagy a Csebisev-polinomok. De bebizonyítható, hogy véges generátorrendszer nem létezhet.

Sorozatterek

Szintén nem végesen generált az ω {\displaystyle \omega } sorozattér, melyet a valós ( a 0 , a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )} valós sorozatok alkotnak, azaz a i ∈ R {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} } , ahol i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } . A nyilvánvaló választás:

e 0 = ( 1 , 0 , 0 , … ) , e 1 = ( 0 , 1 , 0 , … ) , e 2 = ( 0 , 0 , 1 , … ) , … {\displaystyle e_{0}=(1,0,0,\dotsc ),e_{1}=(0,1,0,\dotsc ),e_{2}=(0,0,1,\dotsc ),\dotsc }

nem generátorrendszer, hiszen nem áll elő minden sorozat véges lineáris kombinációként; csak azok, ahol véges sok tag különbözik nullától. Az ω {\displaystyle \omega } térnek nincs megszámlálható generátorrendszere; minden generátorrendszere nem megszámlálható végtelen elemet tartalmaz.

Nullvektortér

A { 0 } {\displaystyle \{0\}} nullvektortér, ami a 0 {\displaystyle 0} vektorból áll, két generátorremndszerrel is generálható:

E = ∅ {\displaystyle E=\emptyset }   és   E = { 0 } {\displaystyle E=\{0\}} .

Az üres halmaz azért generátorrendszer, mivel a vektorok üres összege a nullvektor.

Tulajdonságok

Ha a generátorrendszert további V-beli vektorokkal bővítjük, akkor ismét generátorrendszert kapunk (azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak).

Egy E ⊆ V {\displaystyle E\subseteq V} generátorrendszer minimális, ha nincs e ∈ E {\displaystyle e\in E} , hogy E ∖ { e } {\displaystyle E\setminus \{e\}} szintén generátorrendszere V {\displaystyle V} -nek. A minimális generátorrendszereket bázisnak nevezzük.

  • Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.

Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a Zorn-lemmát vagy a kiválasztási axióma valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni.

Egy E {\displaystyle E} bázis lineárisan független vektorokból áll. Ha ugyanis egy e ∈ E {\displaystyle e\in E} lineárisan függne a többi elemtől, akkor behelyettesítéssel minden v ∈ V {\displaystyle v\in V} vektor előállna E ∖ { e } {\displaystyle E\setminus \{e\}} lineáris kombinációjaként; tehát E {\displaystyle E} nem lenne minimális, így bázis sem.

Generált alterek

Tetszőleges E ⊆ V {\displaystyle E\subseteq V} esetén tekinthetjük az E {\displaystyle E} által generált W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} alteret. Ennek konstrukciójára két lehetőség adódik:

Az egyik lehetőség az, hogy vesszük az E {\displaystyle E} -t tartalmazó alterek metszetét. Ez szintén altér lesz V {\displaystyle V} -ben, hiszen alterek metszete. Ez az altér halmazelméletileg a legkisebb, ami E {\displaystyle E} -t tartalmazza.

A második módszer szerint tekintjük az E {\displaystyle E} -ből képezett összes lineáris kombinációját. Ez a halmaz az E {\displaystyle E} lineáris burka, amit ⟨ E ⟩ {\displaystyle \langle E\rangle } jelöl. Így a W {\displaystyle W} altér éppen az E {\displaystyle E} által generált altér. Tehát E {\displaystyle E} generátorrendszere W {\displaystyle W} -nek.

Források

  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK, 2. fejezet (Vektorterek, lineáris leképezések és mátrixaik)
  • Heinz Bauer. Maß- und Integrationstheorie, 2., überarbeitete, Berlin (u. a.): de Gruyter (1992. május 27.) 
  • Gerd Fischer. Lineare Algebra, 15., verbesserte, Wiesbaden: Vieweg (2005. május 27.) 
  • Kurt Meyberg. Algebra. Bd. 1. München [u. a.]: Carl Hanser Verlag (1975. május 27.) 
  • Christian Karpfinger - Kurt Meyberg. Algebra. Gruppen - Ringe - Körper, 2., Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag (2010. május 27.) 
  • Horst Schubert. Topologie. Eine Einführung, 4., Stuttgart: B. G. Teubner Verlag (1975. május 27.) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Erzeugendensystem című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap