Mann–Whitney-próba

A statisztikában a Mann–Whitney-próba (más néven: Mann–Whitney–Wilcoxon- vagy Wilcoxon-féle rangösszegteszt) a kétmintás t-próba nem parametrikus megfelelője, amelyet nem normál eloszlás, valamint ordinális változók esetén használunk. Tehát ezzel a teszttel is azt a nullhipotézist vizsgáljuk, miszerint a két minta ugyanabból a populációból származik.

Történeti áttekintés

A Mann–Whitney-teszt statisztikai háttere először 1914-ben jelent meg egy cikkben, amely a német Gustav Deuchler nevéhez köthető. Frank Wilcoxon 1945-ben már említést tett a kétmintás próbáról egyenlő elemszámok mellett, valamint már publikált egy szignifikanciatesztet a nullhipotézis alátámasztására egy alternatív hipotézissel szemben.

A statisztikai módszer alapos analízise, amelyben kidolgozták a rangsorolás eljárását: a két mintát együtt rangsoroljuk (azaz, csoporttól függetlenül határozzuk meg a rangszámokat), majd összeadjuk külön az egyik és külön a másik csoport rangszámait, 1947-ben jelent meg Henry Mann és tanítványa, Donald Ransom Whitney cikkében.

A cikk tartalmazta az egyenlő számok (döntetlen) lehetőségét tetszőleges nagyságú elemszám esetén is, valamint azokat a táblázatokat, amelyben a nyolc vagy annál kisebb elemszámú elemzésekhez tartozó kritikus értékek találhatóak.

A teszt használatának feltételei

A Mann–Whitney-tesztet a t-teszt használati feltételeinek sérülése esetén használjuk, például, ha az adatok nem normál eloszlásúak vagy a két minta varianciája szignifikánsan eltérő.

A teszt használatának feltételei:

• Az összes minta független egymástól.
• Az adatok legalább ordinálisak (azaz ha nem is számszerűek, de legalábbis sorrendbe állíthatók).

Nullhipotézis: a két minta azonos eloszlásból származik.

Számítási módok

A próba végrehajtása

A két mintát együtt rangsoroljuk (azaz, csoporttól függetlenül határozzuk meg a rangszámokat 1-gyel kezdve). Majd összeadjuk külön az egyik és külön a másik csoport rangszámait, az egyenlő értékek esetében 0,5-ös értékeket használva (pl.: a 3, 5, 5, 9 számsor alapján a rangszámok 1, 2,5, 2,5, 4 lesz). Ha igaz a nullhipotézis, hogy a minták ugyanabból az eloszlásból származnak, akkor ennek a két rangszám összegnek közel egyenlőnek kell lennie. Minél jobban eltér az egyik összeg a másiktól, annál több okunk van feltételezni, hogy a két minta különböző eloszlású populációból származik. A próba értéke általában a kisebb elemszámú csoport rangösszege (de lehet a nagyobb elemszámú csoporté is).

Kitekintés: Az egyik csoport rangszámai nagy valószínűséggel magasabb értéket mutatnak, mint a másik csoporté, ezt azonban akkor tudjuk pontosan meghatározni, ha ismerjük a csoportok nagyságait. Például: a 2-es nem nagy rang érték egy 5 elemből álló csoportba, de egy 50 elemből álló mintába lehet. Vegyünk például egy versenyt, ahol ha 5 versenyzőből másodikként érsz be nem annyira nagy eredmény mintha 50-ből lennél második.

A Mann–Whitney-próbához tartozó táblázatból a csoport elemszámainak segítségével tudjuk meghatározni azt az intervallumot, amelybe ha a vizsgált rangösszeg beleesik, akkor nem szignifikáns a különbség, ha kívül esik, akkor elvetjük a nullhipotézist.

Normál eloszláshoz való közelítés

A táblázat azonban csak kis elemszámok esetén használható. Nagy elemszám esetén normál eloszláshoz való közelítést kell alkalmazni. A normál eloszláshoz való közelítés egyenletének használatához az alábbi adatokra lesz szükség:

• nagyobb elemszámú csoport elemeinek száma = n_n
• kisebb elemszámú csoport elemeinek száma = n_k
• kisebb elemszámú csoport rangösszege = R_k

A képlet általánosságban:

${\displaystyle Z={\frac {X_{i}-{\text{átlag}}}{\text{szórás}}}}$

Majd az előbb felsorolt adatokra nézve:

${\displaystyle Z={\frac {R_{k}-n_{k}(n_{k}+n_{n}+1)/2}{\sqrt {\frac {n_{k}n_{n}(n_{k}+n_{n}+1)}{12}}}}}$

A z érték kiszámítása után standard normál eloszlás és 0,05-ös szignifikanciaszint mellett a kritikus érték 1,96, ha ennél a │z│ nagyobb, akkor a két minta közti különbség szignifikáns 5%-os szinten.

Mann–Whitney U statisztika

A Mann–Whitney U statisztikának az alapja a két csoport elemeinek a párba állítása. Tehát, az egyik csoport minden elemét (A_i) párba állítjuk a másik csoport minden elemével (B_i). Az így keletkezett párok száma n₁n₂. Ezek után megvizsgáljuk, hogy hány olyan párosítás van, ahol az első szám nagyobb, mint a másik (A_i>B_i). Ezeknek a pároknak a száma tulajdonképpen a Mann–Whitney U statisztika. Ha a két csoport nem különbözik, akkor körülbelül ugyanannyi olyan pár lesz, ahol A_i<B_i, mint amennyiben A_i>B_i. Ha az egyik típusú pár aránya nagyban eltér a másiktól, valószínűleg különbség van a két populációban a számok eloszlásában.

A számolást a próba végrehajtása alfejezet alapján kezdjük. Ezek után az U érték kiszámítható:

${\displaystyle U_{1}=R_{1}-{\frac {n_{1}(n_{1}+1)}{2}}}$

ahol az n₁ az első minta elemszáma és R₁ pedig az első minta rangösszege.

Ugyanezzel a képlettel számolhatjuk ki a második mintára vonatkozó U értéket:

${\displaystyle U_{2}=R_{2}-{\frac {n_{2}(n_{2}+1)}{2}}}$

A fentiek alapján a meglévő adatok segítségével több összefüggést is ki tudunk még számítani: pl. az összes rang összegét az alábbi képlettel számolhatjuk ki:

${\displaystyle U_{1}+U_{2}=R_{1}-{\frac {n_{1}(n_{1}+1)}{2}}+R_{2}-{\frac {n_{2}(n_{2}+1)}{2}}}$

Mivel azt már tudjuk, hogy R₁ + R₂= N(N+1)/2 és N=n₁+n₂ , így egyszerűsítéseket végezve a képleten ezt kapjuk:

${\displaystyle U_{1}+U_{2}=n_{1}n_{2}}$

A kisebb elemszámú csoport U értékének meghatározása után, a Mann–Whitney-próbához tartozó U-érték-táblázat segítségével az elemszámoknak megfelelő cellában találjuk azt az intervallumot, amelyen ha az adott U érték kívül esik, 0,05-os szinten a különbség szignifikáns.

Ezek alapján a normál eloszláshoz való közelítés képlete megfogalmazható más módon is:

${\displaystyle Z={\frac {U-m_{u}}{\sigma _{u}}}}$

ahol m_u és ϭ_u az U értékhez (lásd később) tartozó átlag és szórás értéke:

${\displaystyle m_{u}={\frac {n_{1}n_{2}}{2}}}$

${\displaystyle \sigma _{u}={\sqrt {\frac {n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1)}{12}}}}$

A legtöbb modern statisztikai programcsomag már tartalmaz U-tesztet, azonban kis elemszám esetén kézzel is könnyen kiszámítható.

Számítási módok egy példán levezetve

A próba végrehajtása

Vegyünk egy egyszerű példát. Tegyük fel, hogy azt szeretnénk megnézni, hogy azok a gyermekek, akik jártak bölcsődébe, jobban teljesítenek-e iskolában a matekfelmérőn, mint azok a gyerekek, akik nem jártak bölcsődébe.

A nullhipotézis: nincs különbség a két csoport között, tehát a bölcsődébe járó gyerekek később nem fognak szignifikánsan jobban teljesíteni a matekfelmérőn, mint a bölcsődébe nem járók.

Szignifikanciaszint: 0,05

A kérdésfeltevés: kétoldali, mivel nem tudjuk, hogy melyikről feltételezzük, hogy „jobb” a másiknál.

A csoport Jártak bölcsődébe (elért pontok)	Rangszámok	B csoport Nem jártak bölcsődébe (elért pontok)	Rangszámok
90	12	66	4
71	6	78	8
83	11	50	1
82	10	68	5
75	7	80	9
91	13	60	2
65	3

${\displaystyle n_{A}=7}$

${\displaystyle R_{A}=62}$

${\displaystyle n_{B}=6}$

${\displaystyle R_{B}=29}$

${\displaystyle N=13}$

Mivel általában a kisebb elemszámú csoport rangösszegét használjuk, így R_B értékét figyeljük. A Mann–Whitney-táblázatban a két elemszám segítségével kideríthető, hogy a kritikus intervallum a 34–64 közötti rész. Tehát azt látjuk, hogy RB értéke kívül esik a kritikus intervallumon, tehát szignifikánsan különbözik a két csoport 0,05-ös szignifikanciaszint mellett.

Mann–Whitney U-statisztika

Az előbbi példát nézve:

${\displaystyle U_{A}=62-{\frac {7(7+1)}{2}}}$

${\displaystyle U_{A}=34}$

${\displaystyle U_{B}=29-{\frac {6(6+1)}{2}}}$

${\displaystyle U_{B}=8}$

A fentiek alapján az összes rang összegét az alábbi képlettel számolhatjuk ki:

${\displaystyle U_{A}+U_{B}=42}$

A kisebb U_B értéket figyelembe véve a Mann–Whitney-táblázatban a két elemszám segítségével láthatjuk, hogy a kritikus intervallum a 34-64 közötti rész. Tehát azt látjuk, hogy U értéke kívül esik a kritikus intervallumon, tehát szignifikánsan különbözik a két csoport 0,05-ös szignifikanciaszint mellett.

Normál eloszláshoz való közelítés

Tegyük fel, hogy a nagy érdeklődésre való tekintettel a vizsgálatokat országos szinten megismételték. A résztvevők száma azonban így már meghaladta a 60-at is.

Ebben az esetben a statisztikai csapat ezekkel az adatokkal dolgozott:

${\displaystyle n_{A}=31}$

${\displaystyle R_{A}=858}$

${\displaystyle n_{B}=32}$

${\displaystyle R_{B}=1222}$

${\displaystyle N=64}$

A Mann–Whitney-érték táblázatban nincs 64 elem, így normál eloszláshoz való közelítést alkalmazunk.

${\displaystyle Z={\frac {R_{k}-n_{k}(n_{k}+n_{n}+1)/2}{\sqrt {\frac {n_{k}n_{n}(n_{k}+n_{n}+1)}{12}}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {858-31(31+32+1)/2}{\sqrt {\frac {31*32(31+32+1)}{12}}}}}$

${\displaystyle Z=-1,84}$

Standard normál eloszlás esetén 0,05-ös szignifikanciaszint mellett a kritikus érték 1,96. Ebben az esetben a z abszolút értéke kisebb, mint 1,96, tehát nincs szignifikáns különbség a két csoport között.

A Mann–Whitney-próba t-teszttel való összehasonlítsa

Ordinális adatok

Ordinális adatok esetén a Mann–Whitney-tesztet kell választani.

Robusztusság

A Mann–Whitney-teszt sokkal robusztusabb, mivel a t-teszthez képest a Mann–Whitney-próba kevésbé hajlamos hamis szignifikáns eredményt mutatni az outlierek miatt. Ez azért lehetséges, mivel ha a mintánk tartalmaz egy olyan adatpontot, ami messze van az átlagtól (két szórásnyira), akkor az ronthatja a t-próba eredményeit. Azonban, ha az adatokat ordinálissá teszem, sorba állítom őket, nem lesz egy igazán félreeső adatom se, mindenki egyenlő távolságra lesz a másiktól (kivéve az egyenlő értékeket).

Hatékonyság

Abban az esetben, ha az eloszlások nagy mértékben eltérnek a normáltól, és elég nagy a minta, az U-teszt sokkal hatékonyabb, mint a t-teszt.

Alternatív megoldások

Abban az esetben, ha a két minta eloszlása nagyon különböző, az U-teszt hamisan adhat szignifikáns eredményt, ezért ekkor a kétmintás t-próba nem egyenlő variánciákra vonatkozó tesztjét alkalmazhatjuk.

Több kutató az U-teszt alternatív megoldásaként ajánlja, hogy transzformáljuk az adatokat rangszámokká (ha eddig nem ezekkel dolgoztunk volna), és a rangszámokon futassunk le egy t-tesztet. Az, hogy melyik típusú t-tesztet használjuk, függ attól, hogy az adatok varianciája egyenlő vagy sem.

Publikálás

A Mann–Whitney-teszt esetében az alábbi eredményeket szükséges publikálni:

• a minták valamely középértéke (átlag, medián – mióta a Mann–Whitney ordinális teszt, azóta a medián ajánlott)
• U értéke
• a minták nagysága
• a szignifikanciaszint

A tudományos világban ezeknek az adatoknak a publikálása kielégítőnek számít.

Egy tipikus publikáció így nézne ki: „… nem parametrikus vizsgálatot Mann–Whitney-teszttel végeztem. Az eredmények az alábbiak lettek: Wisconsin Kártyaszortírozó Teszt U=682,5 z=-.411 p=.681…”

Abban az esetben, amennyiben a cikk célja egy statisztikai próba vizsgálata, vagy valamilyen statisztikai téma a fő irányvonal, abban az esetben a publikáció sokkal részletesebb és pontosabb.

Kivitelezés

Sok programcsomag tartalmazza ma már a Mann–Whitney-tesztet, amelynek segítségével gyorsan elvégezhetjük a szükséges tesztet.

• MATLAB
• COIN
• SAS
• Python (programozási nyelv)
• SigmaStat (SPSS Inc., Chicago, IL)
• SYSTAT (SPSS Inc., Chicago, IL)
• JMP (SAS Institute Inc., Cary, NC)
• S-Plus (MathSoft, Inc., Seattle, WA)
• STATISTICA (StatSoft, Inc., Tulsa, OK)
• UNISTAT (Unistat Ltd, London)
• SPSS (SPSS Inc, Chicago)
• Arcus Quickstat (Research Solutions, Cambridge, UK)
• Stata (Stata Corporation, College Station, TX)
• StatXact (Cytel Software Corporation, Cambridge, MA)
• PSPP
• Ropstat
• R

Hivatkozások

• Vargha András (2002): Független minták összehasonlítása új rangsorolási eljárásokkal. Statisztikai Szemle, 80. évfolyam, 4. szám
• Fidy Judit dr., Makara Gábor dr. (2005): Biostatisztika. InforMed 2002 Kft.
• Sándor János, Ádány Róza (2011): Biostatisztika. Medicina Könyvkiadó
• http://psycho.unideb.hu/munkatarsak/hidegkuti_istvan/targyak/Kiraly_Zoltan_Statisztika_2_jegyzet_2.pdf
• https://en.wikipedia.org/wiki/Mann%E2%80%93Whitney_U_test
• http://ramet.elte.hu/~ramet/oktatas/Biometria/biometria_eloadas_12.pdf Archiválva 2005. október 24-i dátummal a Wayback Machine-ben