Mellékosztály

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A mellékosztály a matematika egyik ágának, a csoportelméletnek a fogalma. Ha adott egy csoport, ennek egy eleme valamint egy részcsoportja, akkor a részcsoport adott elem szerinti mellékosztálya azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a részcsoport elemeinek az adott elemmel való szorzatából^[1] adódnak.

A közös részcsoporthoz de más-más elemhez tartozó mellékosztályok vagy egyenlők (azaz minden elemük közös) vagy diszjunktak (azaz nincs közös elemük). Számosságuk egyenlő a részcsoport rendjével (azaz a részcsoportba tartozó elemek halmazának számosságával). Ezekből következik, hogy a csoport elemei egy adott részcsoportra nézve mind pontosan egy-egy mellékosztályba tartoznak. Innen ered az osztály elnevezés.

Definíció

Legyen ${\displaystyle G=(G,*)}$,^[2] ${\displaystyle H}$ pedig ${\displaystyle G}$ részcsoportja, valamint ${\displaystyle g}$ egy ${\displaystyle G}$-beli elem:

${\displaystyle H\leq G\qquad g\in G}$

Ekkor a ${\displaystyle H}$ részcsoportnak a ${\displaystyle g}$ szerinti jobb oldali mellékosztálya a következő halmaz:

${\displaystyle H*g=\{h*g\,|\,h\in H\}\subseteq G}$

bal oldali mellékosztálya pedig:

${\displaystyle g*H=\{g*h\,|\,h\in H\}\subseteq G}$

Ha a ${\displaystyle *}$ művelet kommutatív, akkor a két fogalom megegyezik, és elég egyszerűen mellékosztályról beszélni.

Tulajdonságok

Diszjunktság

Egy adott részcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékosztályai vagy diszjunktak, vagy egyenlők:

${\displaystyle H\leq G\qquad f,g\in G}$

${\displaystyle H*f\neq H*g\quad \Rightarrow \quad H*f\,\cap \,H*g=\emptyset }$

Másképp megfogalmazva: ha van közös elemük, akkor minden elemük közös:

${\displaystyle (\exists x\in H*f:\quad x\in H*g)\quad \Rightarrow \quad (\forall y\in H*f:\quad y\in H*g)}$

Bizonyítása az utóbbi megfogalmazást követve (a bizonyítás szimmetrikusan az ellenkező oldali mellékosztályokra is működik):

• Ha a két mellékosztálynak nincs közös eleme, akkor a két halmaz diszjunkt, tehát az állítás igaz.
• Ha van közös elemük, akkor az egyik ilyen közös elemet jelölje x. A mellékosztály definíciója szerint x tehát a következőképp írható:

${\displaystyle x=a*f,\qquad a\in H}$, mert x benne van az f szerinti mellékosztályban

${\displaystyle x=b*g,\qquad b\in H}$, mert x benne van a g szerinti mellékosztályban

• Ebből következik, hogy

${\displaystyle a*f=b*g\qquad /a^{-1}*()}$, mindkét oldalt balról összeműveletezzük a inverzével.

${\displaystyle f=a^{-1}*b*g\qquad (1)\,}$

• Legyen y egy tetszőleges ${\displaystyle H*f}$-beli elem. Ekkor a definíció szerint y a következőképp írható:

${\displaystyle y=c*f,\qquad c\in H}$

ami az (1) egyenlet alapján:

${\displaystyle y=c\,*\,(a^{-1}*b*g)}$

mivel a ${\displaystyle H}$ struktúra csoport, a ${\displaystyle *}$ művelet asszociatív:

${\displaystyle y=(c*a^{-1}*b)\,*\,g\qquad (2)}$

• Legyen

${\displaystyle d=c*a^{-1}*b\,}$

d biztosan eleme ${\displaystyle H}$-nak, hiszen ${\displaystyle a,b,c}$ elemei ${\displaystyle H}$-nak, a ${\displaystyle H}$ struktúra pedig csoport, tehát létezik inverz a halmazon belül, valamint a művelet zárt a halmazra. Így a (2) egyenlet:

${\displaystyle y=d*g,\qquad d\in H}$

Ez a mellékosztály definíciója szerint azt jelenti, hogy

${\displaystyle y\in H*g}$

• Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az f szerinti mellékosztályban, az a g szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a g szerinti mellékosztályban, az az f szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen részhalmazai, tehát egyenlők. Ezt kellett bizonyítani.

Azonos számosság

Közös részcsoporthoz tartozó mellékosztályok számossága megegyezik a részcsoport rendjével:

${\displaystyle H\leq G,\quad \forall g\in G:\quad |H*g|=|g*H|=|H|}$

Bizonyítása:

• Legyen ${\displaystyle g\in G}$ tetszőleges és

${\displaystyle \varphi :\,H\rightarrow H*g,\quad x\mapsto x*g}$ egyértelmű hozzárendelés (függvény).

• Legyen ${\displaystyle x,y\in H}$.

Tegyük fel, hogy

${\displaystyle \varphi (x)=\varphi (y)\,}$

Vagyis

${\displaystyle x*g=y*g\qquad /()*g^{-1}}$, mivel csoportról van szó, létezik inverz.

${\displaystyle x=y\,}$

• Tehát a függvényértékek csak akkor egyenlők, ha a változók is, valamint a képhalmaz egyben értékkészlet is a mellékosztály definíciója alapján. Ebből következik, hogy φ kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz bijekció.
• Mivel ${\displaystyle H}$ és ${\displaystyle H*g}$ között létesíthető kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (a φ), a két halmaz számossága a számosság definíciója szerint egyenlő:

${\displaystyle |H*g|=|H|\,}$

• A bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.

Lagrange tétele

A mellékosztályok fenti tulajdonságainak felhasználásával Lagrange tétele egyszerűen bizonyítható:

Tétel: Véges csoport minden részcsoportjának rendje osztja a csoport rendjét, azaz:

${\displaystyle \forall H\leq G:\quad |H|\,|\,|G|}$

Bizonyítás:

• ${\displaystyle H}$ különböző mellékosztályai diszjunktak és azonos számú, ${\displaystyle |H|}$ darab elemet tartalmaznak.
• Minden ${\displaystyle G}$-beli ${\displaystyle g}$ elem benne van az egyik mellékosztályban:

például a ${\displaystyle H*g}$-ben, hiszen ${\displaystyle e*g=g}$, ahol ${\displaystyle e}$ a ${\displaystyle H}$ csoport egységeleme (ami megegyezik ${\displaystyle G}$ egységelemével).

• A teljes ${\displaystyle G}$ halmaz elemszáma egyenlő a különböző (tehát diszjunkt) mellékosztályok elemszámának összegével, hiszen átfedés nincs köztük de kitöltik a teljes halmazt. Ezeknek a mellékosztályoknak a számát ${\displaystyle |G\,:\,H|}$ jelöli (ennek neve a ${\displaystyle H}$ részcsoport indexe a ${\displaystyle G}$ csoportra), így:

${\displaystyle |G\,:\,H|\cdot |H|=|G|}$

Vagyis

${\displaystyle |H|\,\,|\,\,|G|}$

További információk

• Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl

Jegyzetek