Meromorf függvények

A meromorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény meromorf a komplex sík egy D nyílt halmazán, ha itt minden szingularitása izolált pólus. (Az elnevezés az ógörög „meros” (μέρος), magyarul rész, szóból ered, arra utalva, hogy a függvény nem differenciálható a teljes halmazon, csak egy részén.

Minden D-n meromorf f függvény kifejezhető két (D-n) holomorf függvény hányadosaként: ${\displaystyle f=g/h}$ (ahol h nem konstans 0), ekkor h gyökei éppen f pólusai lesznek. Mivel h holomorf, ezért ekkor csak izolált pontokban veheti fel a nulla értéket.

Definíció

Legyen ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ nemüres nyílt halmaz, ${\displaystyle P\subseteq D}$ az izolált pólusok halmaza.

${\displaystyle f:D\setminus P\to \mathbb {C} }$

komplex függvény meromorf (a D halmazon) ha f holomorf a D \ P halmazon.

Riemann-felületeken a definíció hasonló: Legyen ${\displaystyle Y}$ nyílt részhalmaz ${\displaystyle Y}$-ben. ${\displaystyle f}$ meromorf az ${\displaystyle Y}$ halmazon, ha ${\displaystyle Y'\subset Y}$ nyílt, és:

• ${\displaystyle f\colon Y'\rightarrow \mathbb {C} }$ holomorf.
• ${\displaystyle P_{f}:=Y\setminus Y'}$ izolált pontokból áll.
• minden ${\displaystyle p\in Y\setminus Y'}$ pontra ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow p}|f(x)|=\infty }$.

Az ${\displaystyle Y\setminus Y'}$ halmaz az ${\displaystyle f}$ függvény pólusait tartalmazza. Az ${\displaystyle Y}$ halmazon meromorf függvények halmazát ${\displaystyle {\mathcal {M}}(Y,\mathbb {C} )}$ jelöli. Ha ${\displaystyle Y}$ összefüggő, akkor ez egy test, amiben a holomorf függvények integritási tartományt alkotnak. Ha ${\displaystyle X}$ komplex részhalmaz, akkor visszajutunk a komplex definícióhoz.

Nem kompakt Riemann-felületeken a meromorf függvények éppen a holomorfak hányadosai. Kompakt Riemann-felületeken csak konstans holomorf függvények vannak, nem konstans meromorf függvények lehetnek. Az elliptikus görbéken értelmezett meromorf függvényeket elliptikus függvényeknek nevezik.

Példák

• Polinomfüggvények hányadosai, azaz a racionális függvények meromorfak a komplex síkon. Racionális függvény például az alábbi hozzárendelés:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}}\ }$

• Meromorf a gamma-függvény is a teljes komplex síkon.
• A Riemann-féle zéta függvény is meromorf a teljes komplex síkon.
• Meromorfak a teljes komplex síkon alábbi hozzárendelések is:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {e^{z}}{z}}\ }$

${\displaystyle z\mapsto {\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}\ }$

Ellenpéldák

Az

${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$

függvény, bár az origón kívül mindenhol értelmezve van, nem meromorf a komplex síkon, mivel a 0-beli szingularitása nem pólus, hanem lényeges szingularitás. Viszont meromorf (mivel holomorf) a ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ halmazon.

• Ehhez hasonlóan az

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{e^{z}-1}}}$

függvénynek minden ${\displaystyle z=2n\pi i,\left(n\in \mathbb {Z} \right)}$ alakú pontban szingularitása van, de nem meromorf ${\displaystyle \mathbb {C} }$-n, mivel a 0-beli szingularitása megszüntethető szingularitás: ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 0}f(z)=1}$, tehát nem pólus.

• A komplex logaritmusnak

${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$

nincs a teljes komplex síkon meromorf ága, mivel nem definiálható úgy, hogy csak izolált pontokat zárunk ki az értelmezési tartományból.

• Az ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$ függvény nem meromorf, mivel ${\displaystyle z=0}$ a pólusok torlódási pontja, ezért nem izolált szingularitás.

Tulajdonságok

Mivel a meromorf függvény pólusai izoláltak, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok lehet belőlük. Számosságuk azonban nem feltétlenül véges. Az alábbi példában f megszámlálhatóan végtelen sok pólussal rendelkezik:

${\displaystyle z\mapsto f(z)={\frac {1}{\sin z}}.}$

Többváltozós eset

Többváltozós esetben a holomorf függvények hányadosaként definiálják a meromorf függvényeket. Például ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}}$ meromorf a kétdimenziós komplex affin téren. Itt már nem igaz, hogy a meromorf függvények holomorf függvénynek tekinthetők a pólusokon kívül, aminek értékei a Riemann-gömbből veszi fel; van egy két kodimenziós határozatlansági halmaz; a példában ez egy pont, a ${\displaystyle (0,0)}$.

Magasabb dimenziókban vannak komplex sokaságok, ahol nincsenek nem konstans meromorf függvények. Ilyenek például a komplex tóruszok.

Irodalom

• Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 
• Lang, Serge (1999), Complex analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98592-3
• Zassenhaus, Hans (1937), Lehrbuch der Gruppentheorie (1st ed.), Leipzig, Berlin: Verlag und Druck von B.G.Teubner
• Lang, Serge (1999). Complex analysis (4th ed.). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98592-3.