Szürjekció

Szürjektív leképezés
Injektív és szürjektív leképezés
Nem szürjektív leképezés
Szürjektív leképezésszorzat: a szorzat első tényezőjének nem kell szürjektívnek lennie

A matematikában ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív leképezésnek vagy szürjektív függvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve függvényeket, amelyeknél a függvény (vagy leképzeés) értékkészlete megegyezik a függvény érkezési halmazával, azaz egy ϕ : A → B {\displaystyle \phi :A\to B} függvény pontosan akkor ráképezés, ha minden b ∈ B {\displaystyle b\in B} elemnek létezik őse a ϕ {\displaystyle \phi } függvény mellett.

Definíció

Legyenek A , B {\displaystyle A,\,B} tetszőleges halmazok és f : A → B {\displaystyle f:A\to B} függvény. Akkor mondjuk, hogy f {\displaystyle f} szürjekció, ha minden b ∈ B {\displaystyle b\in B} -re létezik a ∈ A {\displaystyle a\in A} úgy, hogy f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} .

Példák

  • Definíció szerint minden bijektív leképezés szürjektív.
  • Az f : R → R , x ↦ 2 x + 1 {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 2x+1} függvény is szürjektív, mert minden y valós számra létezik olyan x (jelesül x = y − 1 2 {\displaystyle x={\frac {y-1}{2}}} ), hogy f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} .
  • Az ln : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle \ln :(0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} } természetes alapú logaritmus függvény szürjektív.
  • Az f : Z → { 0 , 1 , 2 , 3 } , x ↦ x ↦ x ( mod 4 ) {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \{0,1,2,3\},x\mapsto x\mapsto x{\pmod {4}}} függvény szürjektív.

Tulajdonságok

  • Ha az f , g {\displaystyle f,g} függvények szürjektívek, akkor a kompozíciójuk is szürjektív függvény.
  • Ha az g ∘ f {\displaystyle g\circ f} függvénykompozíció szürjektív leképezés, akkor a g {\displaystyle g} függvény szürjekció.
  • Ha X , Y {\displaystyle X,Y} véges halmazok és | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} , továbbá f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} függvény, akkor a következő állítások ekvivalensek:
  1. f {\displaystyle f} bijekció.
  2. f {\displaystyle f} szürjekció.
  3. f {\displaystyle f} injekció.

Végtelen halmazokra az előző állítás nem marad érvényben. Például az f : N → N , n ↦ n + 1 {\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto n+1} leképezés injektív de nem szürjektív. A g : N → N , n ↦ | n − 2 | {\displaystyle g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto |n-2|} leképezés szürjektív de nem injektív.

Lásd még

Hivatkozások

  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

  • Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik