Bola pejal (matematika)

Dalam ruang Euklides, bola pejal merupakan volume yang dibatasi bola.

Dalam matematika, bola pejal (atau bola pepat) adalah bangunan ruang yang dibatasi volume bola, yang disebut juga sebagai bola padat.[1] Bola dapat dikatakan sebagai bola tertutup (bahasa Inggris: closed ball), yang mencakup titik batas yang membentuk bola) atau disebut sebagai bola terbuka (bahasa Inggris: open ball), yang mengecualikan titik batas yang membentuk bola.

Konsep ini tidak hanya didefinisikan dalam ruang Euklides berdimensi tiga, melainkan untuk dimensi yang lebih rendah dan lebih tinggi pula, dan untuk ruang metrik secara umum. Bola pejal dalam dimensi n disebut bola pejal-n dan dibatasi oleh hiperbola atau bola-(n−1). Jadi, sebagai contoh, bola pejal dalam bidang Euklides merupakan hal yang serupa dengan cakram, yang dibatasi lingkaran. Dalam ruang berdimensi tiga Euklides, bola pejal diambil sebagai volume yang dibatasi dengan bola berdimensi dua. Dalam ruang berdimensi satu, bola pejal merupakan sebuah ruas garis.

Dalam ruang Euklides

Dalam ruang Euklides ke-n, bola pejal-n (terbuka) dengan jari-jari r dan pusat x merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari r yang jauh dari x. Sedangkan bola pejal-n tertutup dengan jari-jari r merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari atau sama dengan nilai r yang jauh dari x.

Volume

Dalam ruang Euklides berdimensi-n, volume berdimensi-n dari bola pejal Euklides dengan jari-jari R dirumuskan sebagai:[2]

V n ( R ) = π n 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n , {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n},}

dengan Γ merupakan fungsi gamma Leonhard Euler (yang dapat dipandang sebagai perluasan dari fungsi faktorial hingga ke argumen fraksional). Menggunakan rumus eksplisit nilai khusus dari fungsi gamma di bilangan bulat dan setengah bilangan bulat, memberikan rumus volume dari bola pejal Euklides yang tanpa menggunakan perhitungan fungsi gamma. Rumus tersebut adalah:

V 2 k ( R ) = π k k ! R 2 k , V 2 k + 1 ( R ) = 2 k + 1 π k ( 2 k + 1 ) ! ! R 2 k + 1 = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! R 2 k + 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}\,,\\V_{2k+1}(R)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}\,.\end{aligned}}}

Dalam rumus volume berdimensi ganjil, faktorial ganda (2k + 1)!! didefinisikan untuk bilangan bulat ganjil 2k + 1 sebagai

( 2 k + 1 ) ! ! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 k − 1 ) ⋅ ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2k-1)\cdot (2k+1).}

Lihat pula

  • Bola, dalam pengertian biasa
  • Cakram (matematika)
  • Bola pejal formal
  • Lingkungan (matematika)
  • Bola (geometri), bentuk geometrik yang mirip
  • Bola berdimensi tiga
  • Bola-n atau hiperbola
  • Bola bertanduk Alexander
  • Manifold
  • Volume dari bola-n
  • Oktahedron, bola berdimensi tiga dalam metrik ℓ1

Referensi

  1. ^ Japan, Mathematical Society of; Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics (dalam bahasa Inggris). MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4. 
  2. ^ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/,[pranala nonaktif permanen] Release 1.0.6 of 2013-05-06.
  • Smith, D. J.; Vamanamurthy, M. K. (1989). "How small is a unit ball?". Mathematics Magazine. 62 (2): 101–107. doi:10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR 2690391. 
  • Dowker, J. S. (1996). "Robin Conditions on the Euclidean ball". Classical and Quantum Gravity. 13 (4): 585–610. arXiv:hep-th/9506042 alt=Dapat diakses gratis. Bibcode:1996CQGra..13..585D. doi:10.1088/0264-9381/13/4/003.  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  • Gruber, Peter M. (1982). "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball". Israel Journal of Mathematics. 42 (4): 277–283. doi:10.1007/BF02761407 alt=Dapat diakses gratis.