Kernel (aljabar linear)

Dalam matematika, khususnya aljabar linear dan fungsi analisis, kernel dari sebuah peta linear (linear map) adalah himpunan semua vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol.^[1][2] Artinya, bagi suatu peta linear L yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W, kernel dari L adalah himpunan semua elemen v dari V yang memenuhi persamaan L(v) = 0, dengan 0 menandakan vektor nol dari W.^[3] Hal ini dinyatakan secara simbolis sebagai:

${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}}$

Kernel juga dikenal dengan istilah null space atau nullspace.

Sifat

Kernel ${\displaystyle L}$ adalah suatu subruang linear dari domain ${\displaystyle V}$.^[3][4] Dalam peta linear ${\displaystyle L\colon V\to W}$, dua elemen di ${\displaystyle V}$ akan memiliki citra yang sama di ${\displaystyle W}$, jika dan hanya jika selisih kedua elemen tersebut juga terletak di dalam kernel ${\displaystyle L}$; atau secara matematis:

${\displaystyle L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} }$.

Hal ini mengakibatkan citra dari ${\displaystyle L}$ isomorfik ke ruang hasil bagi ${\displaystyle V}$ dengan kernel; atau secara matematis:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L)}$.

Pada kasus ${\displaystyle V}$ memiliki dimensi yang hingga, hubungan ini menyiratkan teorema rank-nullity:

${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V)}$.

Dalam hubungan ini, istilah rank merujuk pada besar dimensi citra dari ${\displaystyle L}$, sedangkan nullity merujuk pada besar dimensi kernel dari ${\displaystyle L}$.^[5]

Jika ${\displaystyle V}$ adalah ruang hasil kali dalam, hasil bagi ${\displaystyle V/\ker(L)}$ dapat diidentifikasi dengan komplemen ortogonal dalam ${\displaystyle V}$ dari ${\displaystyle \ker(L)}$. Ini adalah perumuman untuk operator linear dari ruang baris, atau kocitra dari sebuah matriks.

Representasi sebagai perkalian matriks

Misalkan peta linear ${\displaystyle A}$ diwakili oleh matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\!\times \!n}$, dengan entri-entri berasal dari lapangan ${\displaystyle K}$ (biasanya ${\displaystyle \mathbb {R} }$ atau ${\displaystyle \mathbb {C} }$), dan beroperasi pada vektor kolom ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dengan ${\displaystyle n}$ komponen di atas lapangan ${\displaystyle K}$. Kernel dari peta linear ini adalah himpunan solusi dari persamaan ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$, dengan ${\displaystyle \mathbf {0} }$ adalah vektor nol. Dimensi dari kernel ${\displaystyle A}$ disebut nolitas dari ${\displaystyle A}$. Dengan menggunakan notasi himpunan, kernel ${\displaystyle A}$ dapat ditulis sebagai

Lebih lanjut, persamaan matriks tersebut setara dengan sistem persamaan linear:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \iff {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$

Dengan demikian, anggota dari kernel dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan di atas.

Sifat subruang

Kernel dari matriks ${\displaystyle A}$ (dengan ordo ${\displaystyle m\!\times \!n}$) atas medan ${\displaystyle K}$ adalah subruang linear dari ${\displaystyle \mathbf {K} ^{n}}$. Artinya, kernel dari ${\displaystyle A}$, himpunan ${\displaystyle \operatorname {Null} (A)}$, mengikuti tiga sifat berikut:

1. ${\displaystyle \operatorname {Null} (A)}$ selalu memiliki vektor nol, karena ${\displaystyle A\mathbf {0} =\mathbf {0} }$.
2. Jika ${\displaystyle x\in \operatorname {Null} (A)}$ dan ${\displaystyle y\in \operatorname {Null} (A)}$, maka ${\displaystyle x+y\in \operatorname {Null} (A)}$. Sifatnya mengikuti distributisi perkalian matriks terhadap penambahan.
3. Jika ${\displaystyle x\in \operatorname {Null} (A)}$ dan ${\displaystyle c}$ adalah sebuah skalar ${\displaystyle c\in K}$, maka ${\displaystyle c\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)}$, karena ${\displaystyle A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0} }$.

Ruang baris matriks

Hasil kali ${\displaystyle A\mathbf {x} }$ ini dapat ditulis dalam bentuk darab bintik atau titik hasil kali dari vektor sebagai berikut:

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}}$.

Dalam hal ini, ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m}}$ menunjukkan baris matriks ${\displaystyle A}$. Ini mengikuti ${\displaystyle \mathbf {x} }$ adalah kernel dari ${\displaystyle A}$ , jika dan hanya jika ${\displaystyle \mathbf {x} }$ adalah ortogonal (atau tegak lurus) untuk setiap baris vektor dari ${\displaystyle A}$(karena ortogonal didefinisikan sebagai memiliki titik hasil kali dari ${\displaystyle 0}$).

Ruang baris, atau kocitra, dari matriks ${\displaystyle A}$ adalah rentang dari baris vektor ${\displaystyle A}$. Dengan alasan di atas, kernel dari ${\displaystyle A}$ adalah komplemen ortogonal untuk ruang baris. Artinya, vektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ terletak pada kernel dari ${\displaystyle A}$, jika dan hanya jika tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris ${\displaystyle A}$.

Dimensi ruang baris ${\displaystyle A}$ disebut peringkat dari ${\displaystyle A}$, dan dimensi dari kernel ${\displaystyle A}$ disebut pembatalan ${\displaystyle A}$. Jumlah ini terkait dengan urutan pembatalan teorema

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n}$.^[5]

Ruang null kiri

Ruang null kiri, atau kokernel, matriks ${\displaystyle A}$ terdiri dari semua kolom vektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ sehingga ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }A=\mathbf {0} ^{\top }}$, di mana ${\displaystyle \top }$ menunjukkan transpose dari matriks. Ruang null kiri ${\displaystyle A}$ adalah sama dengan kernel ${\displaystyle A^{\top }}$. Ruang null kiri ${\displaystyle A}$ adalah pelengkap ortogonal untuk ruang kolom dari ${\displaystyle A}$, dan ganda ke kokernel dari transformasi linear terkait. Kernel, Ruang baris, kolom ruang, dan ruang kosong di sebelah kiri ${\displaystyle A}$ adalah empat subruang fundamental terkait dengan matriks A.

Sistem non-homogen persamaan linear

Kernel juga memainkan peran dalam solusi untuk sistem non-homogen persamaan linear:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ atau ${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

Jika ${\displaystyle \mathbf {u} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} }$ adalah dua kemungkinan solusi untuk persamaan di atas, maka

${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,}$

Dengan demikian, perbedaan dua solusi untuk persamaan ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ terletak di kernel ${\displaystyle A}$.

Ini mengikuti bahwa setiap solusi untuk persamaan ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ dapat dinyatakan sebagai jumlah solusi tetap ${\displaystyle \mathbf {v} }$ dan elemen sebarang dari kernel. Artinya, solusi yang ditetapkan ke persamaan ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ adalah

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\}}$,

Secara geometrik, ini mengatakan bahwa solusi diatur untuk ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ adalah terjemahan geometri dari kernel ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ oleh vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Contoh

• Jika ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$, maka kernel dari ${\displaystyle L}$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan linear. Seperti yang diilustrasikan di atas, jika ${\displaystyle L}$ adalah operator:

${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$

maka kernel ${\displaystyle L}$ adalah serangkaian solusi untuk persamaan

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$

• Misalkan ${\displaystyle C[0,1]}$ melambangkan ruang vektor semua fungsi bernilai riil kontinu pada interval ${\displaystyle [0,1]}$, dan mendefinisikan ${\displaystyle L\colon C[0,1]\to \mathbb {R} }$ berdasarkan kaidah

${\displaystyle L(f)=f(0.3)}$,

maka kernel ${\displaystyle L}$ terdiri dari semua fungsi ${\displaystyle f\in C[0,1]}$ untuk ${\displaystyle f(0.3)=0}$.

• Misalkan ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ menjadi ruang vektor dari banyaknya fungsi terdiferensialkan ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, dan misalkan ${\displaystyle D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ adalah operator diferensial:

${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}}$,

maka kernel ${\displaystyle D}$ terdiri dari semua fungsi dalam ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ yang turunannya adalah nol, yaitu himpunan semua fungsi konstan.

• Misalkan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ menjadi hasil kali langsung dari banyaknya salinan ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dan misalkan ${\displaystyle s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ adalah operator diferensiasi.

${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ),}$

maka kernel ${\displaystyle s}$ adalah subruang berdimensi satu yang terdiri dari semua vektor ${\displaystyle (x_{1},0,0,\dots )}$.

• Jika ${\displaystyle V}$ adalah ruang hasil kali dalam dan ${\displaystyle W}$ adalah subruang, maka kernel dari proyeksi (aljabar linear) ${\displaystyle V\to W}$ adalah komplemen ortogonal untuk ${\displaystyle W}$ di ${\displaystyle V}$.

Perhitungan oleh eliminasi Gauss

Sebuah basis aljabar linear dari kernel matriks dapat dihitung oleh eliminasi Gauss.

Untuk tujuan ini, mengingat matriks ${\displaystyle A}$, ordo ${\displaystyle m\!\times \!n}$, membangun baris pertama ditambah matriks ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]}$, di mana ${\displaystyle I}$ adalah matriks identitas ${\displaystyle n\!\times \!n}$.

Komputasi bentuk eselon kolom oleh eliminasi Gauss (atau metode lain yang sesuai), akan mendapatkan matriks ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]}$. Basis dari kernel ${\displaystyle A}$ terdiri dalam kolom taknol ${\displaystyle C}$ sehingga kolom yang sesuai ${\displaystyle B}$ adalah matriks atau kolom nol.

Sebenarnya, perhitungan dapat dihentikan segera setelah matriks atas di bentuk eselon kolom: sisa perhitungan terdiri dalam mengubah dasar ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom yang bagian atas adalah nol.

Sebagai contoh, misalkan:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right]}$, maka ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]}$.

Tempatkan bagian atas di bentuk eselon kolom dengan operasi kolom pada seluruh matriks

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Tiga kolom terakhir B adalah kolom nol. Oleh karena itu, tiga vektor terakhir dari C,

${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$

adalah basis dari kernel ${\displaystyle A}$.

Bukti bahwa metode menghitung kernel: karena operasi kolom sesuai dengan pasca-perkalian oleh matriks terbalikkan, fakta bahwa ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]}$ dikurangi ke ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]}$ berarti bahwa ada ada matriks terbalikkan ${\displaystyle P}$ sehingga ${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]}$ dengan ${\displaystyle B}$ dalam bentuk eselon kolom. Jadi ${\displaystyle AP=B}$, ${\displaystyle IP=C}$, dan ${\displaystyle AC=B}$. Sebuah kolom vektor ${\displaystyle v}$ termasuk dalam kernel ${\displaystyle A}$ (yaitu ${\displaystyle Av=0}$) jika dan hanya ${\displaystyle Bw=0,}$ di mana ${\displaystyle w=P^{-1}v=C^{-1}v.}$ Ketika ${\displaystyle B}$ berada di bentuk eselon kolom, ${\displaystyle Bw=0}$, jika dan hanya jika entri bukan nol dari ${\displaystyle w}$ berpadanan dengan kolom nol dari ${\displaystyle B.}$ Mengalikan dengan ${\displaystyle C}$, salah satunya dapat disimpulkan bahwa ini adalah kasus jika dan hanya ${\displaystyle v=Cw}$ adalah kombinasi linear dari kolom yang sesuai dari ${\displaystyle C.}$

Komputasi titik mengambang

Untuk matriks yang entri-nya bilangan titik kambang, masalah komputasi kernel masuk akal hanya untuk matriks yang jumlah baris sama dengan peringkat bilangan titik kambang: karena kesalahan perbatasan, matriks titik kambang telah hampir selalu peringkat penuh, bahkan ketika peringkat matriks pendekatannya jauh lebih kecil.^[6]

Lihat pula

Referensi

Bibliografi

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0. 
• Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7. 
• Meyer, Carl D. (2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 15 Agustus 2020.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3. 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International. 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall. 
• Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Springer. ISBN 9780387964126. 
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9. 

Pranala luar