Funzione polidroma

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In matematica, una funzione polidroma (o funzione multivoca o multifunzione) è una relazione simile per alcuni aspetti a una funzione (in cui a ogni elemento del dominio è associato esattamente un elemento del codominio) ma che a differenza di quest'ultima può avere più valori, cioè a ogni elemento del dominio è associato almeno un elemento del codominio. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in analisi complessa.

Definizione

Siano $X$ e $Y$ due insiemi. Una funzione polidroma da $X$ in $Y$ è una funzione

f\colon X\to P(Y),

che associa ad ogni elemento di $X$ un sottoinsieme non vuoto di $Y$ (qui $P(Y)$ è l'insieme delle parti di $Y$ ).

Una definizione equivalente vede una funzione polidroma come un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $X\times Y$ tale che per ogni $x$ in $X$ esiste almeno un $y$ in $Y$ per cui $(x,y)\in R$ (cioè una relazione binaria tra $X$ e $Y$ "totale a sinistra").

Nel contesto delle funzioni polidrome, una funzione nel senso usuale del termine viene detta monodroma. In questo caso, $f(x)$ è formato da un elemento solo per ogni $x$ . Utilizzando l'insieme delle parti viene infatti aggirato il problema di avere per ogni input una e una sola immagine, associando all'elemento di partenza un intero insieme, che è un unico elemento se considerato all'interno dell'insieme delle parti del codominio.

Differenza con le funzioni a valori vettoriali

È bene sottolineare la differenza tra funzioni polidrome e funzioni vettoriali, cioè a valori nel prodotto cartesiano di $n$ copie di $Y$ , distinguendo due differenze fondamentali:

una funzione vettoriale ha immagini con un numero di componenti sempre fisso a $n$ poiché sono vettori di $Y^{n}$ ; al contrario, una funzione polidroma ha valori di cardinalità variabile, poiché sono sottoinsiemi arbitrari di $Y$ .
una funzione vettoriale ha come immagini ennuple ordinate, mentre le funzioni polidrome danno come immagini degli insiemi, che notoriamente sono indipendenti dall'ordine in cui si enumerano i suoi elementi.

Analisi complessa

Radice ennesima

Lo stesso argomento in dettaglio: Radice dell'unità.

La più semplice e immediata funzione polidroma è la radice ennesima di una variabile complessa:

{\sqrt[{n}]{z}},\quad n\in \mathbb {Z} ,

intesa come inversa della funzione monodroma $z^{n}$ . Usando la rappresentazione polare $z=\rho e^{i\theta }$ e ricordando che ogni numero complesso espresso in forma polare deve riportare l'intervallo di definizione dell'argomento $0\leq \theta <2\pi$ affinché il numero sia ben definito abbiamo:

{\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\cdot {\sqrt[{n}]{e^{i\theta +i2k\pi }}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left(e^{\frac {i\theta +i2k\pi }{n}}\right).

Si vede chiaramente che ${\sqrt[{n}]{\rho }}$ è ben definito (ovviamente $\rho \geq 0$ ), ma al contrario l'argomento della funzione radice ennesima:

\arg({\sqrt[{n}]{z}})={\frac {\theta +2k\pi }{n}},

è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se $z^{n}$ è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno $n$ valori, in corrispondenza degli $n$ valori dell'argomento di ${\sqrt[{n}]{z}}$ . Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire $n$ giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra $n$ ed $n+1$ .

Logaritmo

Lo stesso argomento in dettaglio: Logaritmo complesso.

Consideriamo un'altra tipica funzione polidroma che è anche discontinua su tutta una semiretta uscente dall'origine come:

\operatorname {Log} z=\log |z|+i\theta +i2k\pi

cioè la branca principale del logaritmo, dove $\theta$ è la fase per $0<\theta <2\pi$ che assume gli infiniti valori: $\log z=\operatorname {Log} z+n\cdot 2\pi i$ . Ovviamente questo discorso vale anche per il logaritmo naturale e il logaritmo su qualsiasi base.

A partire dal logaritmo si può definire anche in campo l'esponenziazione a qualsiasi base come la funzione polidroma

z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}

Argomento

L'ultima funzione polidroma che analizziamo è l'argomento di un numero complesso, definito come

\arg(z)=\left\{y\in \mathbb {R} :e^{iy}={\frac {z}{|z|}}\right\},

per ogni numero complesso non nullo $z$ . Ricordiamo che questa definizione ha senso poiché l'esponenziale complesso ristretto ai numeri puramente immaginari, cioè del tipo $i\cdot y$ , assume valori nella sfera unitaria $S^{1}$ .

Sempre dalle proprietà dell'esponenziale si ricava che risulta, se $y_{0}$ è un particolare valore dell'argomento di $z$ ,

\arg(z)=\{y_{0}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}.

Altre caratteristiche della polidromia

Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di singolarità non isolate che sono detti punti di diramazione di ordine $n$ , se compiendo $n+1$ giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale; si dice invece un punto di diramazione di ordine infinito, se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è analitica. Ciò significa che si può sviluppare in serie di Taylor entro un cerchio di convergenza di centro $z_{0}$ di raggio $|z_{0}|$ :

\log z=\log z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left[{\frac {z-z_{0}}{z}}\right]^{n}}{n}}.

Funzioni polidrome reali

Tipiche e molto usate funzioni polidrome a valori reali sono le inverse delle funzioni trigonometriche: esse sono periodiche, quindi similmente al logaritmo complesso, le loro inverse assumono una quantità numerabile di valori.

Rami e valori principali

Tutti questi esempi condividono una proprietà comune: essi possono essere visti come funzioni inverse di qualche altra applicazione (la potenza per le radici, l'esponenziale per il logaritmo). Infatti la funzione inversa è la multifunzione più facile da incontrare, poiché a priori la corrispondenza $y\mapsto f^{-1}(y)$ non genera un elemento, ma un insieme: esso è vuoto se $y$ non è parte dell'immagine di $f$ , è un singleton per i valori in cui essa è iniettiva, è un insieme con più elementi altrimenti.

In ognuno di questi casi, per giungere da una funzione multivoca ad una monodroma e utilizzare gli strumenti usuali della matematica, si è scelta per convenzione (o per altri motivi) una singola controimmagine da associare a $y$ : nel caso della radice reale, la scelta cade su $+{\sqrt {x}}$ ; nel logaritmo complesso viene scelto il valore $\log z$ tale che $0<\arg(z)<2\pi$ ; nell'arcoseno l'angolo scelto è sempre quello compreso tra $-\pi /2$ e $\pi /2$ e così via.

Ognuna delle funzioni monodrome che si potrebbero definire al variare della scelta all'interno dell'insieme $f^{-1}(y)$ viene detto ramo dell'inversa; il valore effettivamente scelto dalla convenzione si dice il ramo principale e il valore che esso assume valore principale. Ad esempio, sempre per il seno: i rami di $f^{-1}(y)$ sono $x=\arcsin y$ , $x=\arcsin y+2\pi$ , $x=\arcsin y+4\pi$ , eccetera, e il valore principale di $f^{-1}(1)$ è $\pi /2$ , mentre gli altri suoi valori non principali sono ${5\pi \over 2},{9\pi \over 2},{13\pi \over 2},\dots$ .

Esistono teoremi che assicurano, a seconda delle varie geometrie del dominio, la continuità di tali rami e la relazione tra essi: si verifica ad esempio che l'esistenza di un ramo continuo dell'argomento è condizione necessaria e sufficiente all'esistenza di un ramo continuo del logaritmo.