Gerarchia di Von Neumann

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Commento: ci sono parecchie cose da controllare, ad esempio nella voce inglese si dà un'altra spiegazione dell'uso della lettera V

In teoria degli insiemi, si usa il termine gerarchia di Von Neumann per indicare una particolare successione parametrizzata con numeri ordinali e definita per ricorsione come segue:

${\displaystyle {\begin{cases}V_{0}=\emptyset \\V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })\\V_{\lambda }=\bigcup _{\gamma \in \lambda }V_{\gamma }\qquad {\text{con }}\lambda {\text{ limite}}\end{cases}}}$

(Con ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ s'intende l'insieme delle parti di ${\displaystyle A}$).

Osserviamo che, mentre dato un qualsiasi ordinale ${\displaystyle \alpha }$ si ha che ${\displaystyle V_{\alpha }}$ è un insieme, l'unione

${\displaystyle VN=\bigcup _{\alpha {\text{ ordinale}}}V_{\alpha }}$

non è un insieme, ma una classe propria, infatti chiaramente esiste una funzione classe ${\displaystyle F:ORD\rightarrow VN}$ iniettiva, ma siccome ${\displaystyle ORD}$ è una classe propria allora l'immagine iniettiva di una classe propria è una classe propria.

Proprietà

Valgono i seguenti fatti:

• ${\displaystyle x\in y\in V_{\alpha }\Rightarrow \quad \exists \quad \beta \in \alpha {\text{ tale che }}x\in V_{\beta }}$
• ${\displaystyle \beta \leq \alpha \Rightarrow V_{\beta }\subseteq V_{\alpha }}$
• ${\displaystyle \alpha \subseteq V_{\alpha }{\text{ ma }}\alpha \notin V_{\alpha }}$

Gerarchia di Von Neumann e assioma di fondazione

La gerarchia di Von Neumann assume un particolare interesse se si considera l'assioma di fondazione, infatti si dimostrano i seguenti fatti in ZFC\(Assioma di Fondazione):

${\displaystyle {\text{Assioma di Fondazione}}\Leftrightarrow VN=V}$

In altre parole, qualora si assuma per vero l'assioma di fondazione si ottiene ${\displaystyle VN=V}$ (ricordiamo che con ${\displaystyle V}$ indichiamo la classe propria di tutti gli insiemi.

È interessante osservare che la scelta della lettera ${\displaystyle V}$ per designare tale classe, e quindi anche per indicare i vari insiemi della gerarchia, deriva dalla rappresentazione grafica a lato.

Questa raffigurazione permette anche di sottolineare la stretta relazione tra la gerarchia di Von Neumann e i concetti stessi di insiemi e classi: supponendo infatti di disegnare sul grafico alcune collezioni di oggetti, gli insiemi saranno sempre limitati da un elemento della gerarchia, le classi saranno tutte e sole le collezioni che "bucano" tutta la gerarchia verso l'alto.

Gerarchia di Von Neumann e numero beth

Sia α ordinale, allora:

${\displaystyle |V_{\alpha }|={\begin{cases}^{\alpha }2=\underbrace {2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot }}}}} _{\alpha \ volte}\qquad \quad se\quad \alpha \in \omega \\\beth _{\alpha -\omega }\qquad \qquad \quad se\quad \omega \leqslant \alpha \quad \land \quad \alpha \in \omega ^{2}\\\beth _{\alpha }\qquad \qquad \qquad se\quad \alpha \geqslant \omega ^{2}\end{cases}}}$

con ${\displaystyle ^{\alpha }2}$ la tetrazione di 2 e ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ il numero beth associato ad ${\displaystyle \alpha }$.

Modelli di ZF

Un qualsiasi elemento della gerarchia di Von Neumann, per come è definito, rispetta gran parte degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel. Ad esempio sarà chiuso per unione, conterrà l'insieme vuoto (con l'eccezione di ${\displaystyle V_{0}}$)...

Si potrebbe quindi sperare di trovare uno o più elementi della gerarchia che siano modelli della ZF, ovvero rendano veri tutti gli assiomi. È interessare esaminare alcuni casi particolari:

• ${\displaystyle V_{\omega }}$ non rispetta l'assioma dell'infinito; infatti, sebbene ${\displaystyle V_{\omega }}$ stesso sia infinito, tutti i suoi elementi sono finiti. Si dimostra facilmente che ${\displaystyle V_{\omega }}$ rispetta tutti gli altri assiomi: ${\displaystyle V_{\omega }\vDash ZF\setminus \{{\text{AI}}\}}$.
• dato un qualsiasi ordinale successore ${\displaystyle \alpha =\beta +1}$, ${\displaystyle V_{\alpha }}$ non rispetterà, tra gli altri, l'assioma della coppia: infatti ${\displaystyle V_{\alpha }}$ conterrà ${\displaystyle V_{\beta }}$ ma non il singoletto ${\displaystyle \{V_{\beta }\}}$, che non è altro che la coppia ${\displaystyle \{V_{\beta },V_{\beta }\}}$
• ${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ rispetta l'assioma dell'infinito (contiene ${\displaystyle \omega }$) e l'assioma della coppia (difatti ${\displaystyle \omega +\omega }$ è un ordinale limite, il più piccolo dopo ${\displaystyle \omega }$), ma non l'assioma di rimpiazzamento; infatti possiamo definire su ogni ${\displaystyle n\in \omega }$ la funzione:

${\displaystyle f(n)=\omega +n}$

Nonostante la funzione sia ben definita ${\displaystyle \forall n\in \omega }$, l'immagine di ${\displaystyle \omega }$ tramite questa funzione sarebbe ${\displaystyle \{\omega +1,\omega +2,\omega +3,\omega +4\dots \}=\omega +\omega }$, che non è un elemento di ${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ (nonostante ne sia un sottoinsieme).

In ultima analisi, si dimostra che un cardinale inaccessibile (maggiore di ${\displaystyle \aleph _{0}}$) è tale che ${\displaystyle V_{\alpha }}$ è un modello per ZF; il fatto che la loro esistenza sia indecidibile all'interno di ZF è in linea con il secondo teorema di incompletezza di Gödel, che afferma che una teoria sufficientemente potente non può provare la propria coerenza, e quindi non si può trovare un modello per la ZF nell'ambito della ZF stessa.

Bibliografia

• F. R. Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic & the Foundations of Mathematics - Vol 76), 1974.

Voci correlate

• Assioma di regolarità
• Numero ordinale (teoria degli insiemi)
• numero beth

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