Identità di Eulero

In matematica, l'identità di Eulero è il caso particolare della formula di Eulero in cui la variabile è uguale a pi greco.

L'identità

L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:

${\textstyle e^{i\pi }+1=0}$

dove:

${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 0}$ sono gli elementi neutri rispettivamente del prodotto e della somma,

${\displaystyle e}$ è il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali,

${\displaystyle i}$ è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è ${\displaystyle -1}$, e

${\displaystyle \pi }$ è pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

Storia e significato

L'equazione, contrariamente a quanto si legge usualmente, non compare nell'Introductio in analysis infinitorum, il primo trattato sul calcolo infinitesimale di Eulero, pubblicato a Losanna nel 1748. In realtà, non è noto chi per primo abbia scritto esplicitamente la relazione, sebbene la formula di Eulero, oggi pertinente all'analisi complessa, fosse assai nota nel Settecento: i matematici Roger Cotes e Abraham de Moivre l'avevano dimostrata in maniera indipendente e con procedimenti diversi.^[1] Tale formula si può scrivere come segue:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

per ogni numero reale ${\displaystyle x}$, essendo cos la funzione coseno e sin la funzione seno. L'identità di Eulero può essere ricavata come caso particolare di questa relazione: se infatti ${\displaystyle x=\pi }$, allora

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi ,}$

e poiché

${\displaystyle \cos \pi =-1,}$

e

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

segue che

${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$

Percezione dell'identità

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità."^[2] Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica".^[3] Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

• Il numero ${\displaystyle 0}$, l'elemento neutro per l'addizione (per ogni ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a+0=0+a=a}$). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
• Il numero ${\displaystyle 1}$, l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$). Vedi 1 (numero).
• Il numero ${\displaystyle \pi }$ è fondamentale nella trigonometria; ${\displaystyle \pi }$ è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
• Il numero ${\displaystyle e}$ è una costante fondamentale (detta anche numero di Nepero) connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale ${\displaystyle dy/dx=y}$ con condizione iniziale ${\displaystyle y(0)=1}$ è ${\displaystyle y=e^{x}}$).
• L'unità immaginaria ${\displaystyle i}$ (dove ${\displaystyle i^{2}=-1}$) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell'algebra).
• La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano ${\displaystyle e}$, elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale ${\displaystyle \pi }$), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali (${\displaystyle e}$), irrazionali immaginari (${\displaystyle i\cdot \pi }$), e interi (${\displaystyle 1}$).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa sono presenti, e gli interi ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$ sono collegati al campo dei numeri complessi.

Note

Bibliografia

• Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6
• Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998), ISBN 0-691-05854-7
• David Stipp, L'equazione di Dio. Eulero e la bellezza della matematica, Codice Edizioni, 2018, ISBN 8875787549.

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Proof of Euler's Identity by Julius O. Smith III, su ccrma-www.stanford.edu. URL consultato il 30 agosto 2005 (archiviato dall'url originale il 4 novembre 2005).
• (EN) Proof of Euler's Relation by Craig Lewis, su DJTricities.com. URL consultato il 5 giugno 2019 (archiviato dall'url originale il 13 marzo 2009).
• (EN) Articolo in Frontiers in Human Neuroscience, su journal.frontiersin.org.
• Formula e identità di Eulero Formula e identità di Eulero, potenze e logaritmi complessi. Lezione interattiva.

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