Metodo dell'inversione

Il metodo dell'inversione, noto anche come trasformazione integrale di probabilità, è una tecnica per generare un campione di numeri casuali distribuiti secondo una data distribuzione casuale, nota la sua funzione di distribuzione di probabilità. Questo metodo è sufficientemente generico, ma può essere computazionalmente troppo oneroso in pratica per talune distribuzioni di probabilità. Una metodologia che applica un algoritmo meno generico ma computazionalmente più efficiente è la trasformata di Box-Muller.

Presupposto

Il metodo dell'inversione si basa sul fatto che se X è una variabile casuale continua con una funzione di ripartizione strettamente crescente F_X e Y = F_X(X), allora Y ha una distribuzione uniforme nell'intervallo [F_{X_min} , F_{X_max}].

Il metodo

Il problema risolto tramite il metodo dell'inversione è descrivibile nella maniera seguente:

• È data X variabile casuale la cui distribuzione può essere descritta tramite la funzione di ripartizione F;
• L'obiettivo è ottenere dei valori di X tali che siano distribuiti secondo tale funzione.

Molti linguaggi di programmazione hanno la capacità di generare sequenze di numeri pseudo-casuali, che sono effettivamente distribuiti uniformemente. Se una variabile casuale ha tale distribuzione, allora la probabilità di cadere in ogni sottointervallo (a, b) dell'intervallo tra 0 e 1 è semplicemente la lunghezza b − a.

Il metodo procede come segue:

1. Genera un numero casuale distribuito uniformemente, detto u;
2. Calcola il valore x tale che ${\displaystyle F(x)=u}$; chiamiamo tale valore x^*;
3. x^* è il numero casuale distribuito secondo F.

In altro modo, data una variabile casuale uniforme continua U in [0, 1] e una funzione di ripartizione invertibile F, la variabile casuale X = F ⁻¹(U) è distribuita secondo F (o, equivalentemente X ha la distribuzione F).

È dimostrabile la caratterizzazione di tali funzioni inverse come soluzioni di determinate equazioni differenziali^[1]. Alcune di queste equazioni ammettono tra le soluzioni esplicite delle serie di potenze, nonostante la non linearità delle equazioni stesse.

Dimostrazione della correttezza

Assumiamo che F sia una distribuzione di ripartizione, continua, e che ${\displaystyle F^{-1}}$ sia la sua inversa:^[2]

${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf \;\{x\mid F(x)=u,0<u<1\}}$

Tesi: Se U è una variabile casuale uniforme tra (0, 1) allora ${\displaystyle F^{-1}(U)}$ segue la distribuzione F

Dimostrazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr(F^{-1}(U)\leq x)\\&{}=\Pr(\inf \;\{x\mid F(x)=U\}\leq x)\quad {\text{(dalla definizione di }}F^{-1})\\&{}=\Pr(U\leq F(x))\quad {\text{(applicando }}F,{\text{ che }}{\grave {e}}{\text{ monotona da entrambi i lati)}}\\&{}=F(x)\quad {\text{(perch}}{\acute {e}}~\Pr(U\leq y)=y,{\text{ dato che }}U~{\grave {e}}{\text{ uniforme nell}}^{'}{\text{intervallo)}}\end{aligned}}}$

Note