L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.
Definizione
Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:
![{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22179a9b81408e19de312b5fbfec30ff62cefa4a)
dove
è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:
![{\displaystyle {\begin{cases}L_{x}=yp_{z}-zp_{y}\\L_{y}=zp_{x}-xp_{z}\\L_{z}=xp_{y}-yp_{x}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e9f5b58c143867eb4a56d7334445a27563a454)
In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:
![{\displaystyle L_{x}=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9609ff8b6ee6319aae1eeaa966f68528292e2bfa)
![{\displaystyle L_{y}=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec0eae8251f5cd0c20253ea4e94f82a29fb4e9c)
![{\displaystyle L_{z}=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce839d298fface7499b9a0b11b92518330114f95)
ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:
![{\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96de47be2a377db1f22efc069bd75208757ee4d9)
scritto nella base delle coordinate.
Le rotazioni
In meccanica classica una rotazione di un angolo
, intorno ad un asse (per esempio
) è descritta da una matrice ortogonale:
![{\displaystyle R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ecb068d85b21a9429e63f794256927d2107ddb)
analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:
![{\displaystyle R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \beta \cos \gamma \\-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5789e31f8ecee1d1237d8204874158f64217d8f9)
La matrice
è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè
.
Le rotazioni infinitesime
Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo
su ognuno dei tre assi:
![{\displaystyle R_{z}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon &0\\\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7393d1ba50a9d87160091c7e7f6c9cf5d2cd7582)
![{\displaystyle R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\0&\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f083d92cd5a4e8c13a04e9025c3808b13fa64e)
![{\displaystyle R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\0&1&0\\\varepsilon &0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d410dc6ec0ab67a54086bff68205d4bae9f432)
per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni
:
![{\displaystyle R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\-\varepsilon ^{2}&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021327f782b41cf07a58202249822f0cc5d01ab8)
e
![{\displaystyle R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon ^{2}&-\varepsilon \\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc3bcaddb5178e3f04e2efe9bfbb7bddf141a83)
Vediamo il commutatore di queste due quantità:
![{\displaystyle R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )-R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}0&-\varepsilon ^{2}&0\\\varepsilon ^{2}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=R_{z}(\varepsilon ^{2})-{\hat {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f989e2d147757002c2d28a52091ed5769deb4322)
Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.
Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazio
Se
è l'operatore di rotazione intorno all'asse
e lo applichiamo ad una funzione d'onda
otteniamo:
![{\displaystyle {\hat {R}}_{z}(\alpha )\psi (x,y,z)=\psi (x\cos \alpha +y\sin \alpha ,-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18a8904929beeedcb4ff66727fbfc2d03189235)
Considerando invece una rotazione infinitesima, per esempio lungo l'asse
:
![{\displaystyle {\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \psi (x+\varepsilon y,-\varepsilon x+y,z)\simeq \psi (x,y,z)+\varepsilon \left(y{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-x{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b813080bc6a481241197b32894ca7666d080027a)
in definitiva:
![{\displaystyle {\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \left({\hat {I}}-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {L}}_{z}\right)\psi (x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725c9612d395fba86abf7760f98db9e4d2608fe0)
Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse
del momento angolare, per cui l'operatore
è il generatore della rotazione intorno all'asse
. Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di
rotazioni infinitesime:
, allora:
![{\displaystyle \psi (\mathbf {r} +d\mathbf {r} )=\left({\hat {I}}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\alpha }{N}}{\hat {\mathbf {L} }}\right)^{N}\psi (\mathbf {r} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e12cfe16d0ff16439eb93675fbb84cbd51341c)
dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite
di questa espressione:
![{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')=\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\psi (\mathbf {r} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820771f6c4df66e16cb39a306927cdab40b255bc)
A conferma di ciò, il teorema di Noether per la Lagrangiana afferma che per ogni simmetria della Lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse
, vi è una quantità conservata pari a
.
Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è
![{\displaystyle \mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\delta \mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85e3aa424a124b1bf0fb5f83d85e7166525c593)
e si ha che
![{\displaystyle \delta \mathbf {x^{j}} ={-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=\delta q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5fa5284466cd2a6f325179fa9379e3f661766df)
perciò:
![{\displaystyle Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}\delta x^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}{-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=-p^{i}\varepsilon x^{k}+p^{k}\varepsilon x^{i}=\varepsilon (x^{i}p^{k}-x^{k}p^{i})=\varepsilon L^{j}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e15190a23ed3536b8db61642bf8a830822402a)
Le proprietà del momento angolare
In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione
![{\displaystyle \exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb389fb30abff82f03857651570f75041444daa)
deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè
:
![{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e4788fb5b08fdaa1615f33ec4fc3096aa9f675)
inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:
![{\displaystyle \exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(\alpha _{2}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}=\exp {\left[(\alpha _{1}+\alpha _{2}){\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e7ce95d6d6800d4abced98a21b90d2b58c0ec1)
Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:
![{\displaystyle \exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(-\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad77bd9045bbe052097cb81715307fdd1ffd5b8)
Proprietà di commutazione
Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica). Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}{\hat {z}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {p}}_{x}]+{\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {z}}[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {y}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}{\hat {x}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})=i\hbar L_{z}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ba3b40629458efad57716d4089bf918521408a)
dove i commutatori fra le componenti di
e
risultano tutti nulli, eccetto nel caso
con
.
Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e89c5196ea3bfa9c2f08c58bc42627b279939c)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2276e5773ca5bec8f3d756a5c2442a7c8c258944)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528d088a6497677773eef131ba66fda4780e44b2)
Si può costruire l'operatore
, cioè l'operatore:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}&=({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})^{2}=[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{x}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{y}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{z}]^{2}\\&={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c188fef294b9469b56ab94bccefaafa2d270ff38)
Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare, infatti:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\right]&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&={\hat {L}}_{x}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]{\hat {L}}_{y}\\&=i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06896d271a83c6d6f97e795f8179aa9ec2e154f9)
e analogamente:
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2a3e3433e3187c37de9cdcbbc0604d7a54ff2e)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc88399aab9fd8ec21735eb841f4fd8104cc447)
cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore
.
Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296ac0c6dcc22670b12ad649bd986f2f1272c77e)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]+[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}=-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17cfdc6baaf95a13626181e1ee836f66cd4c7f6)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]+[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35399a6ca5fd29050626ca371a1a0ebff1e08521)
Allo stesso modo
e
, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ca08aa5d0f4ce18d95e6ac5b6114b48a9999c1)
dove
e
è il simbolo di Levi-Civita, che è uguale a
per permutazioni pari degli indici,
per permutazioni dispari e
se due indici sono uguali.
Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0655b04b13ff51352818366146856624dbc6d4f5)
Spettro del momento angolare
Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica). Le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente, per semplicità
. Le equazioni agli autovalori sono:
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l\rangle =a|l\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76261e476dc410d96b0f5f1a0bca2be5bb805a49)
![{\displaystyle {\hat {L}}_{z}|m\rangle =b|m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1225bc6f04dc7316285221a5d838436062c41886)
dal momento che
commuta con
, essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati
e
coincidono, e vengono indicati con
.
Bisogna trovare quali sono gli autovalori
,
, a volte indicati con
,
, oppure con ) simultanei di questi operatori:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a|l,m\rangle \\{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =b|l,m\rangle \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009f3738551b02a4c3bd0f2c0f3b8fae3c05b563)
Per fare questo vanno introdotti due operatori, detti operatori di scala o operatori scaletta:
![{\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }={\hat {L}}_{x}\pm i{\hat {L}}_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edcc49c3e932a096fbb3e5d15d541ee7972479ec)
che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}]=2\hbar {\hat {L}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d145e7ea7aaa3a63364d3ab7b98230a72cb690)
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {L}}_{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b35f33a978b295f12d6ac453b41ff8a8ab7119)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {L}}_{\pm }]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc940b65d103941028fb7facbe122c5599153199)
L'operatore
può essere espresso in termini di
e operatori di scala:
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{+}{\hat {L}}_{-}+{\hat {L}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {L}}_{z}={\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8c8775369e3d8daa92e9561691cff81564ee98)
Per vedere quale sia il significato di
, vediamo come
agisce sullo stato
:
![{\displaystyle {\hat {L}}_{z}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)=\left([{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]+{\hat {L}}_{\pm }{\hat {L}}_{z}\right)|l,m\rangle =(b\pm \hbar )\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe940a662abffa4e3d6dd08c264401d962a3bc6)
cioè applicando
, l'autovalore di
aumenta di
, viceversa applicando
, l'autovalore di
viene diminuito di
, da cui il nome di operatori di scala. Invece:
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)={\hat {L}}_{\pm }{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a{\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d24f732894eea8e3accd042bb27d6e73b0a616)
cioè l'applicazione degli operatori
cambiano gli autovalori di
, ma non di
.
Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega
ed
è:
![{\displaystyle \langle l,m|({\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2})|l,m\rangle =\langle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2}\rangle \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c84ddcef51138f9bf6e88306373316a82de648e)
ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:
![{\displaystyle -a\leq b\leq a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2daabcaed944a0533186ec4a2bb5e6e888162d82)
cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di
: fisicamente ciò significa che
assume il suo valore massimo quando
coincide con la direzione dell'asse
, così la sua proiezione
coincide con
, in tal caso
. Quindi l'autovalore di
è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere
.
Siano
il valore minimo e
il valore massimo che può assumere
. Applicando successivamente gli operatori di scala
, si capisce che deve essere:
![{\displaystyle {\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adbacad9c99e111323aa5061dc3793fd678964a)
![{\displaystyle {\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ce0754890db476165e86029c6e8749186a4adf)
Ora applichiamo
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0df8a7d3a9ed6e40ad71863e8357c5060d6345)
cioè:
![{\displaystyle a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099819429f179a799a18374d028ef2ea44adf289)
Quindi l'autovalore di
è
, dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:
![{\displaystyle -a\leq b\leq a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2daabcaed944a0533186ec4a2bb5e6e888162d82)
e anche qui
deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di
sono distanti
uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di
), dove se
è un intero, fissato
, vi sono
valori di
, cioè
per cui se
è intero lo è anche
e se
è semintero, lo è anche
. Si può dimostrare che gli autovalori
sono interi e quindi anche
sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di
e
:
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2307bf4855120068679c819372475524f5ea1cfb)
![{\displaystyle {\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bb56c0dd85a96dfe13a7c190987f1dedc5d345)
dove
è il numero quantico orbitale ed
è il numero quantico magnetico.
Autofunzioni del momento angolare
Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo
. La sua rappresentazione spaziale è:
![{\displaystyle L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c376478b85077b96a253b383af18626d99df332)
Mentre quella lungo
è:
![{\displaystyle L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e6c453f8984e145d5f10794216cad135ca4ab4)
Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale
e della sua componente lungo
sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:
![{\displaystyle L^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b58e6dca1b137147494b0e2f159ec785fdf97d)
![{\displaystyle L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b314291093fbe8bde9ef3721e1a1ea169c4bd354)
le armoniche sferiche sono pertanto
![{\displaystyle \langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2821144d28a668110aacb0729360cd8d2f3c908a)
Bibliografia
- Jun John Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Zanichelli, 1996, ISBN 88-08-12706-0.
- Lev Landau e Evgenij Lifšic, Meccanica quantistica, teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5606-4.
Voci correlate
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