In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l'uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.
In generale ogni funzione uniformemente continua è anche continua. Il teorema di Heine-Cantor permette di invertire tale implicazione, nell'ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.
Il teorema
Siano
e
spazi metrici, e
una funzione continua su
. Se
è compatto allora
è uniformemente continua.[1]
In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.
Dimostrazione
Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0:\forall x,y\in M,d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e245cfa9f00a6badf3f3766ea42036a9817e24d8)
equivale a
.
Supponiamo dunque che esista
tale che per ogni
esistano punti
tali che
e
Diamo a
i valori
e denotiamo con
e
i corrispondenti punti
.
In questo modo si definiscono due successioni di punti
e
.
Poiché
è compatto da
si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto
; sia essa
.
Poiché
per
, si ha
per
. quindi anche
converge a
Poiché per ogni
si ha
e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue
incompatibile con l'ipotesi d'assurdo
Condizione sufficiente
La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme. Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti. Banalmente la funzione
è uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.[1]
Note
Bibliografia
- Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
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