Test binomiale

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Motivo: È parametrico o no? Le leggi di Bernoulli B(p) e binomiale B(n,p) sono parametriche... Inoltre, il test è sulla variabile casuale bernoulliana, non sulla variabile casuale binomiale

Il test binomiale è un test non parametrico applicabile a variabili dicotomiche e campioni bernoulliani.

Il test

Ipotizzando che nella popolazione un carattere sia presente nel p% dei casi, allora il numero di volte x che compare in un campione bernoulliano di ampiezza n è distribuito come una variabile casuale binomiale.

Per saggiare il seguente test di verifica d'ipotesi:

H_{0}:p=p_{0}

si calcolano le probabilità dei valori risultati quando si assume che $H_{0}$ sia vera. Il Test indica quanto siamo ragionevoli a credere che le proporzioni (o frequenze) delle due categorie (rs. assenza o presenza del carattere) nel campione siano state tratte da una popolazione i cui valori ipotizzati siano $p_{0}$ e $1-p_{0}$ .

Per convenienza denotiamo il risultato $X=1$ come presenza (o successo), e con $X=0$ indichiamo assenza (o insuccesso), in questo modo:

Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}

è il numero di successi (ovvero il numero di risultati in cui $X=1$ ), ed allora $Y\sim Bi(n,p)$ .

Osservazioni

Nel caso si tratti di campioni grandi e che il prodotto n·p sia sufficientemente grande, allora si può fare ricorso alla variabile casuale normale. Se p è così piccolo che anche per n grandi il prodotto n·p è piccolo, allora si può fare ricorso ad una variabile casuale poissoniana.

Quando il test binomiale viene applicato a variabili continue dicotomizzate allora ha una potenza-efficienza che va dal 95% per campioni molto piccoli a 2/π=63% nel caso di campioni grandi.