ファクトリオン

数学において、ファクトリオン(英: factorion)とは、各桁の数字の階乗の和がその数自身となる自然数である。例えば、145は、1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145であるためファクトリオンである。

十進法では、ファクトリオンは、1、2、145、40585(オンライン整数列大辞典の数列 A014080)の4つのみである。

ファクトリオン、という名称は、Clifford A. Pickover（英語版）が彼の著書、Keys to Infinity の22章、"The Loneliness of the Factorions"で用いた。

上限

nをd桁の自然数であるファクトリオンとすると、10^d − 1 ≤ n ≤ 9!d(ただし9!dは9!とdの積の意である)が成り立たなければならない。しかしこれは、d ≥ 8に対し成り立たず、nは最大で7桁であることが分かるため、最初の上限として、9999999が分かる。しかし、7桁の数の各桁の階乗の和は、9!*7 = 2540160なので、2番目の上限は2540160となる。さらに、9!6 = 2177280であり、6つの9があり、2540160より大きくない7桁の自然数は、1999999である。これは、調べれば分かる通りファクトリオンではない。次の最大の和は、1999998である。同様の手順で、次の上限は1854721と分かる。

他の基数

十進法以外にも定義が拡張されている場合、ファクトリオンは無限に存在する。これの例として、任意のn > 3 である自然数に対し、n! + 1 と n! + 2は(n-1)!進法でファクトリオンであり、2桁で"n1"、"n2"と書かれる。例えば、25と26は六進法でファクトリオンであり、"41"、"42"と書かれる。また、121と122は二十四進法でファクトリオンであり、"51"、"52"と書かれる。

n > 2に対し、n! + 1はさらに(n! - n + 1)進法でもファクトリオンであり、2桁で"1n"と書かれる。例えば、25は二十一進法でファクトリオンであり、"14"とかかれる。また、121は百十六進法でファクトリオンであり、"15"と書かれる。

全ての自然数は一進法でファクトリオンであり、1と2は全ての記数法でファクトリオンである。

次の表は、三十進法までのファクトリオンの一覧である。

オンライン整数列大辞典の数列 A193163

基数(n)	n進表記	十進法での表現
1	1, 11, 111, ...	1, 2, 3, ... (全ての自然数)
≥1	1	1
2	10	2
≥3	2	2
4	13	7
5	144	49
6	41	25
6	42	26
9	6 2558	41282
10	145	145
10	4 0585	40585
11	24	26
11	44	48
11	2 8453	40472
13	8379 0C5B	519326767
14	8 B0DD 409C	12973363226
15	661	1441
15	662	1442
16	260 F3B6 6BF9	2615428934649
17	8405	40465
17	146F 2G85 00G4	43153254185213
17	146F 2G85 86G4	43153254226251
21	14	25
23	498J HHJI 5L7M 50F0	1175342075206371480506
24	51	121
24	52	122
26	10 K2J3 82HG GF81	2554945949267792653
26	10 K2J3 82HG GF82	2554945949267792654
27	725	5162
27	75 CA7B E19H 1K2P 6DKF	15511266000434263077417003
28	54	144
30	Q 809T 0Q5Q A0EG CSGI CG4R	9158749082185220449342855718547