ヘッケ作用素

ヘッケ作用素（ヘッケさようそ、英: Hecke operator）とは、ウェイト k {\displaystyle k} の正則保型形式に作用する作用素。モーデル作用素を拡張して定義される。

定義

f {\displaystyle f} をウェイト k {\displaystyle k} の正則保型形式 M k ( Γ ) {\displaystyle M_{k}(\Gamma )} と仮定する。 (ただし、 Γ := S L 2 ( Z ) {\displaystyle \Gamma :=SL_{2}(\mathbb {Z} )} である。) このとき、 m ≥ 1 {\displaystyle m\geq 1} に対して、ヘッケ作用素 T k ( m ) : M k ( Γ ) → M k ( Γ ) {\displaystyle T_{k}(m):M_{k}(\Gamma )\rightarrow M_{k}(\Gamma )} は、

( T k ( m ) f ) ( z ) := m k − 1 ∑ a d = m ∑ b = 0 d − 1 d − k f ( a z + b d ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ d | ( m , n ) d k − 1 a ( m n d 2 , f ) ) q n = σ k − 1 ( m ) a ( 0 , f ) + ∑ n = 1 ∞ ( ∑ d | ( m , n ) d k − 1 a ( m n d 2 , f ) ) q n , {\displaystyle {\begin{aligned}(T_{k}(m)f)(z)&:=m^{k-1}\sum _{ad=m}\sum _{b=0}^{d-1}d^{-k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n}\\&=\sigma _{k-1}(m)a(0,f)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n},\end{aligned}}}

によって定義される[1]。 ただし、 σ k ( n ) := ∑ d | n d k {\displaystyle \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}} [2]、また、 a ( n , f ) {\displaystyle a(n,f)} は 正則保型形式 f {\displaystyle f} のフーリエ係数である[3]。

f = ∑ n = 0 ∞ a ( n , f ) q n . {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a(n,f)q^{n}.}

ヘッケ環

作用素 T k ( m ) {\displaystyle T_{k}(m)} は関係式

T k ( m ) T k ( n ) = T k ( n ) T k ( m ) = ∑ d | ( m , n ) d k − 1 T k ( m n d 2 ) , {\displaystyle T_{k}(m)T_{k}(n)=T_{k}(n)T_{k}(m)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}T_{k}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),}

を満足するので、 T k := C [ T k ( m ) | m = 1 , 2 ⋯ ] {\displaystyle \mathbb {T} _{k}:=\mathbb {C} \left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots \right]} は可換な C {\displaystyle \mathbb {C} } 代数を構成する[1]。この T k {\displaystyle \mathbb {T} _{k}} をヘッケ環と呼ぶ。 (ただし、ヘッケ環は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある[1]。)

出典

参考文献