マクスウェル分布

マクスウェル分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$a={\sqrt {\frac {kT}{m}}}>0$
台	$x\in (0;\infty )$
確率密度関数	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a^{3}}}$
累積分布関数	$\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a}}$ erfは誤差関数
期待値	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$
最頻値	${\sqrt {2}}a$
分散	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$
歪度	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$
尖度	$\gamma _{2}=4{\frac {\left(-96+40\pi -3\pi ^{2}\right)}{(3\pi -8)^{2}}}$
エントロピー	$\ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}$
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マクスウェル分布（マクスウェルぶんぷ、英: Maxwell distribution^[1]）とは、熱力学的平衡状態において、気体分子の速度が従う分布関数である。マクスウェル＝ボルツマン分布（英: Maxwell–Boltzmann distribution^[1]）と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。イギリスの物理学者J.C.マクスウェルが1859年に見いだしたことにちなんで名付けられた。

導出

気体分子運動論では、成分を v_x, v_y, v_z とする速度ベクトル v について、x 方向の速度成分 v_x の分布は、分子の質量を m、ボルツマン定数を k、絶対温度を T、係数を A として

A\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)

に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数 A を求めるには v_x に関して積分した値が1になれば良いので^[2]^[3]

A\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=2A\int _{0}^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=1

より、A = √m / 2πkT となる。したがって、x 方向の速度成分 v_x の分布は

f(v_{x})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)

となる^[2]^[4]。

また、x, y, z 方向の各速度の分布は互いに独立で、

f(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})

が成り立つので、方向を指定しない3次元の速さ v の分布は

f(v)\mathrm {d} v_{x}\mathrm {d} v_{y}\mathrm {d} v_{z}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2kT}}\right)\mathrm {d} v_{x}\mathrm {d} v_{y}\mathrm {d} v_{z}

となる^[2]。ここで、dv_xdv_ydv_z は半径 v で厚さ dv の球殻の体積に相当するので、4πv²dv となり^[5]^[3]、またスカラー量である速さ v の大きさは v = √v 2
x + v 2
y + v 2
z なので、マクスウェル分布は

f(v)\mathrm {d} v=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v

より

f(v)=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)

となる^[6]^[5]^[4]^[3]。

分子の分布が上の式に従うことの証明については「最大エントロピー原理」を参照

マクスウェル分布は一般化ガンマ分布（英語版）の一つである。

f_{\text{Maxwell}}(v;a)=f_{\text{GeneralizedGamma}}(v;{\sqrt {2}}a,3,2)

速度分布

分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。

導かれる速度

マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。

まず1つ目の速度が英語で"The most probable speed"と呼ばれる速度で、日本語では「最大確率速度^[3]」や「最確速度^[5]^[7]」などと呼ばれるものであり、記号で v_mp と表される。これは、マクスウェル分布の最頻値であり、グラフのピークを求めれば良いので^[5]

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}f(v)=0

より^[8]

v_{\mathrm {mp} }={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}

となる^[5]^[8]^[9]。

次に求められる速度が平均速度 v である。これはマクスウェル分布の期待値なので

{\overline {v}}=\langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }vf(v)\mathrm {d} v={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\mathrm {mp} }

となる^[5]^[8]^[9]。

最後に求められる速度が根二乗平均速度 v_rms である。これはマクスウェル分布のモーメントなので

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)\mathrm {d} v}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\mathrm {mp} }

となる^[8]。

また、これら3つの速度の比は

v_{\mathrm {mp} }:{\overline {v}}:v_{\mathrm {rms} }=1:{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}:{\sqrt {\frac {3}{2}}}=1:1.128:1.225

と表される^[9]。

脚注

[脚注の使い方]

出典

^ ^a ^b 『学術用語集』
^ ^a ^b ^c 『アトキンス物理化学』 p.27
^ ^a ^b ^c ^d 『理工系学生のための化学基礎』 p.17
^ ^a ^b 『化学・生命科学系のための物理化学』 p.28
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 『アトキンス物理化学』 p.28
^ 『アトキンス物理化学』 p.26
^ 『化学・生命科学系のための物理化学』 p.29
^ ^a ^b ^c ^d 『化学・生命科学系のための物理化学』 p.30
^ ^a ^b ^c 『理工系学生のための化学基礎』 p.18

参考文献

文部省・日本物理学会編編『学術用語集物理学編』（増訂版）培風館、1990年9月。ASIN 4563021954。ISBN 4-563-02195-4。 NCID BN05183934。OCLC 23241821。全国書誌番号:90057219。
P. W. Atkins 著、千原秀昭・中村亘男訳「1.3. 気体の運動論モデル」『アトキンス物理化学』上巻（第6版）、東京化学同人、2001年1月30日。ASIN 4807905295。ISBN 4-8079-0529-5。 NCID BA50699995。OCLC 834997205。全国書誌番号:20141197。
Raymond Chang 著、岩澤康裕・北川禎三・濱口宏夫訳「3.4. マクスウェル分布則」『化学・生命科学系のための物理化学』東京化学同人、2003年1月10日。ASIN 4807905635。ISBN 978-4-8079-0563-8。 NCID BA60479780。OCLC 676444896。全国書誌番号:20370378。http://www.tkd-pbl.com/book/b16264.html。
卜部和夫、川泉文男、平澤政廣、松井恒雄著「1.3. 気体分子運動論」、野村浩康・川泉文男（編）編『理工系学生のための化学基礎』（第6版）学術図書出版社、2013年10月31日。ASIN 478060351X。ISBN 978-4-7806-0351-4。 NCID BB13985110。OCLC 867490860。全国書誌番号:22331758。http://www.gakujutsu.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7806-0351-4.html。