モーダストレンス

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カテゴリ:推論規則
表 話 編 歴

モーダストレンス（英: Modus tollens, MT）は、間接証明（indirect proof）や対偶による証明（proof by contradiction）の正式な名称である。ラテン語で「否定によって肯定する様式」の意。後件否定（denying the consequent）とも呼ぶが妥当な論証形式であり、似たような名称の妥当でない論証形式（後件肯定や前件否定）とは異なる。

モーダストレンスは次のような形式である。

P ならば Q である。

Q は偽である。

従って、P は偽である。^[1]

形式的記法

論理演算の記法では、次のようになる。

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\vdash \neg P}$

ここで ${\displaystyle \vdash }$ は論理的帰結を表す。

集合論の形式では次のようになる。

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

（P は Q の部分集合である。x は Q に属さない。従って、x は P に属さない）

自然演繹の記法では次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\vdash P\to Q~~~\vdash \neg Q}{\vdash \neg P}}}$

また、次のような形式もある。

もし P なら Q である。

Q でない。

従って、P でない。

解説

この論証には2つの前提条件がある。第一の前提は「P ならば Q」という形式の文であり、含意を表している。第二の前提は、Q が偽であることを主張している。これら2つの前提から、論理的に P が偽でなければならないことを結論として導いている。

例えば、次のような例がある。

ここに火があるなら、ここには酸素がある。

ここには酸素がない。

従って、ここには火がない。

別の例を挙げる。

リジーが殺人者なら、彼女は斧を持っている。

リジーは斧を持っていない。

従って、リジーは殺人者ではない。

これらの前提がどちらも真であるとする。リジー・ボーデンが殺人者なら、彼女は斧を持っていたに違いない。そして、実際にはリジーは斧を持っていなかった。結果として、彼女は殺人者ではないということになった。論証が妥当で、前提が真なら、結論も真となる。

もっとも、殺人者が常に斧を所有しているとは限らないのも自明である。例えば、斧を借りることもできる（従って、リジーは斧を所有していなくとも殺人者の可能性がある）。この場合、最初の前提が偽であることを意味する。論証が妥当であっても、前提が偽なら結論も偽となる。

モーダストレンスは、カール・ポパーが反証可能性について論じる際に使われ、有名になった。

モーダスポネンスとの関係

モーダストレンスは、条件文型の前提に対して対偶をとることでモーダスポネンスに変換可能である。例えば、次のようになる。

P ならば Q である（前提ー含意）

Q でないならば P でない（その対偶）

Q でない（前提）

従って、P でない（モーダスポネンスによる帰結）

同様に、モーダスポネンスを対偶を使ってモーダストレンスに変換可能である。

関連項目

• モーダスポネンス - 「ある人にとってのモーダスポネンスは、別の人にとってはモーダストレンスである」"one man's modus ponens is another man's modus tollens" (Dretske 1995)
• 後件肯定
• 前件否定
• 反証可能性

脚注

外部リンク

• mathworld.wolfram.com: Modus Tollens