リー環のコホモロジー

数学において、リー環のコホモロジー（英: Lie algebra cohomology）とは、リー環に対するコホモロジー論である。それは Chevalley and Eilenberg (1948) によって、コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために、定義された。上の論文では、コシュール複体（英語版）と呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され、そのコホモロジーが普通の意味で取られる。

動機付け

G がコンパクト[要曖昧さ回避]単連結リー群のとき、G はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは G 上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これは同変微分形式（英語版）の複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。

定義

g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を可換環 R 上のリー環、 U g {\displaystyle U{\mathfrak {g}}} をその普遍包絡環とし、M を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現とする（同じことだが U g {\displaystyle U{\mathfrak {g}}} -加群とする）。R を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の自明表現と考え、コホモロジー群

H n ( g ; M ) := E x t U g n ( R , M ) {\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}

を定義する（Ext の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手

M ↦ M g := { m ∈ M ∣ x m = 0    for all  x ∈ g } {\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}}

の右導来関手である。

同様に、リー環のホモロジーを

H n ( g ; M ) := T o r n U g ( R , M ) {\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}

と定義でき（Tor の定義は Tor関手を参照）、これは右完全余不変（英語版）関手

M ↦ M g := M / g M . {\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}

の左導来関手と同値である。

リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中にはホワイトヘッドの補題（英語版）、ワイルの完全可約性定理（英語版）、レヴィ分解（英語版）定理がある。

シュバレー・アイレンバーグ複体

体 k 上のLie環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の左 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群 M に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体 H o m k ( Λ ∗ g , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\ast }{\mathfrak {g}},M)} を用いて計算できる。この複体の n-コチェインは M に値を持つ n 変数の交代 k-多重線型関数 f : Λ n g → M {\displaystyle f:\Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M} である。n コチェインのコバウンダリは次で与えられる (n + 1)-コチェイン δf である[1]：

( δ f ) ( x 1 , … , x n + 1 ) = ∑ i ( − 1 ) i + 1 x i f ( x 1 , … , x ^ i , … , x n + 1 ) + ∑ i < j ( − 1 ) i + j f ( [ x i , x j ] , x 1 , … , x ^ i , … , x ^ j , … , x n + 1 ) , {\displaystyle (\delta f)(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f([x_{i},x_{j}],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1})\,,}

ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。

小さい次元のコホモロジー

0次コホモロジー群は（定義により）加群に作用するリー環の不変加群である：

H 0 ( g ; M ) = M g = { m ∈ M ∣ x m = 0    for all  x ∈ g } . {\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}

1次コホモロジー群は内部微分の空間 Ider を法とした微分の空間 Der である：

H 1 ( g ; M ) = D e r ( g , M ) / I d e r ( g , M ) {\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)}

ただし微分はリー環から M への写像 d で

d [ x , y ] = x d y − y d x   {\displaystyle d[x,y]=x\,dy-y\,dx~}

なるもので、それが内部微分とはそれがある a ∈ M で

d x = x a   {\displaystyle dx=xa~}

で与えられることをいう。

2次コホモロジー群

H 2 ( g ; M ) {\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}

はリー環の加群 M によるリー環の拡大

0 → M → h → g → 0 {\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}

の同値類の空間である。

より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。

関連項目

  • BRST formalism（英語版）（理論物理学）

参考文献

  • Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel (1948), “Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras”, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 63 (1): 85–124, doi:10.2307/1990637, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR0024908, https://jstor.org/stable/1990637 
  • Hilton, P. J.; Stammbach, U. (1997), A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 4 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94823-2, MR1438546 
  • Knapp, Anthony W. (1988), Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes, 34, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08498-5, MR938524 
  1. ^ Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge University Press. p. 240