ロワの恒等式

ロワの恒等式（ロワのこうとうしき、英: Roy's identity, フランスの経済学者、ルネ・ロワ（英語版、フランス語版）にちなむ）は、消費者選択（英語版）理論および企業理論（英語版）に応用を持つミクロ経済学の主結果の一つである。この等式（補題）はマーシャル型需要関数（英語版）と間接効用関数（英語版）の偏導関数とを結びつける。特に、間接効用関数が v ( p , w ) {\displaystyle v(p,w)} であるとき、財 i {\displaystyle i} のマーシャル型需要関数は

x i m = − ∂ v ∂ p i ∂ v ∂ w {\displaystyle x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}}

と計算できる。ここで p {\displaystyle p} は各財の価格ベクトルであり、 w {\displaystyle w} は所得を表す[1]。

導出

ロワの恒等式は、個々の消費者および個々の財 ( i {\displaystyle i} ) についての需要関数を得るためにシェパードの補題（英語版）を書き直したものである。

まず、間接効用関数 v ( p , w ) {\displaystyle v(p,w)} の変数である富ないし所得 w {\displaystyle w} に、支出関数（英語版）（expenditure function）を代入して得られる、下記のあたりまえの恒等式について考える。ここで効用は u {\displaystyle u} で表している：

v ( p , e ( p , u ) ) = u {\displaystyle v(p,e(p,u))=u}

この等式は、価格の一覧（価格ベクトル p {\displaystyle p} ）と、その価格の下で効用 u {\displaystyle u} を得るために必要な最小限の支出 e ( p , u ) {\displaystyle e(p,u)} に対して、得られる効用（間接効用関数の返り値）は u {\displaystyle u} である、という意味である。

（効用の水準を一定に保ったまま）等式の両辺をある単一の財の価格 p i {\displaystyle p_{i}} で偏微分すると

∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ w ∂ e ( p , u ) ∂ p i + ∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ p i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}

となる。これを変形すると

− ∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ p i ∂ v [ p , e ( p , u ) ] ∂ w = ∂ e ( p , u ) ∂ p i = h i ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u ) ) {\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}

最後から2番目の等号はシェパードの補題から従い、最後の等号はヒックス型需要関数（英語版）の基本的な性質から従う。

（微分可能な場合の）別証明

ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある[2]。単純化のため、財が2種類の場合について述べる。

間接効用関数 v ( p 1 , p 2 , w ) {\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} は、次のラグランジュの関数

L = u ( x 1 , x 2 ) + λ ( w − p 1 x 1 − p 2 x 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}

で特徴づけられるような、制約条件付き最大化問題の目的関数なのだから、包絡線定理（英語版）より、目的関数 v ( p 1 , p 2 , w ) {\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} のそれぞれのパラメータに関する偏導関数は

∂ v ∂ p 1 = − λ x 1 m {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}
∂ v ∂ w = λ {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }

のように計算できる。この x 1 m {\displaystyle x_{1}^{m}} が最大値を与える解（つまり、財1についてのマーシャル型需要関数の値）である。これより、簡単な計算でロワの恒等式

− ∂ v ∂ p 1 ∂ v ∂ w = − − λ x 1 m λ = x 1 m {\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}

が得られる。

応用

この恒等式は、消費者の間接効用関数が与えられたとき、ある財に対するマーシャル型需要関数を導く一法を与えるものである。また、スルツキー方程式を導出する基礎にもなっている。

脚注

  1. ^ Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (Third ed.). New York: Norton. pp. 106–108. https://books.google.com/books?id=m20iQAAACAAJ&pg=PA106 
  2. ^ Cornes, Richard (1992). Duality and Modern Economics. New York: Cambridge University Press. pp. 45–47. ISBN 0-521-33291-5. https://books.google.com/books?id=HO8zAAAAIAAJ&pg=PA45 

参考文献

  • Roy, René (1947). “La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens”. Econometrica 15 (3): 205–225. JSTOR 1905479.