二体問題

「ケプラー問題」はこの項目へ転送されています。球充填に関する「ケプラー予想」とは異なります。

二体問題（にたいもんだい、英: Two-body problem）は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

問題の記述

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}$と${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}}$を2つの物体の位置、${\displaystyle m_{1}}$、${\displaystyle m_{2}}$を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間${\displaystyle t}$に対して軌跡${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)}$及び${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)}$を確定させることである。

最初の位置を

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t=0)}$ と ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t=0)}$、

最初の速さを

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}(t=0)}$ と ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}(t=0)}$

と置くと、運動の第2法則により

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}\quad \quad \quad ({\text{Equation 1}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{21}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}\quad \quad \quad ({\text{Equation 2}})}$

と書ける。ここで、

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}}$ は質量1が質量2から受ける力であり、

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{21}}$ は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {r}}\equiv {\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)}$と${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)}$が記述できる。

重心の動き

式1と式2を足すと、

${\displaystyle m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }={\boldsymbol {F}}_{12}+{\boldsymbol {F}}_{21}=0}$

となる。ここで、2つめの等号は運動の第3法則${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{12}=-{\boldsymbol {F}}_{21}}$を用いた。これを変形して

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }\equiv {\frac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+m_{2}{\boldsymbol {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

${\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }=0}$

は、重心の速度${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {com} }}$と、 全運動量${\displaystyle m_{1}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{2}}$が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

${\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}={\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}-{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=\left({\frac {{\boldsymbol {F}}_{12}}{m_{1}}}-{\frac {{\boldsymbol {F}}_{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right){\boldsymbol {F}}_{12}}$

が得られる。ここで、${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力は${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$の関数となり、${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}$と${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}}$の絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。

${\displaystyle \mu {\ddot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})}$

ここで${\displaystyle \mu }$は換算質量であり、

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

である。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)}$と${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$を使うと、軌跡の方程式は

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)}$

と書ける。

関連項目

• ケプラーの法則
• ビリアル定理
• 2体ポテンシャル
• Kepler problem（ケプラー問題）