十六元数

抽象代数学における十六元数（じゅうろくげんすう、英: sedenion）は、全体として実数体 R 上16次元の（双線型な乗法を持つベクトル空間という意味での）非結合的分配多元環を成す代数的な対象で、その全体はしばしば S で表される。八元数にケーリー＝ディクソンの構成法を使って得られる対合的二次代数である。

「十六元数」という用語は、他の十六次元代数構造、例えば四元数の複製二つのテンソル積や実数体上の四次正方行列環などに対しても用いられ、Smith (1995) で調べられている。

算術

ケーリーの八元数と同様に十六元数の乗法は可換でも結合的でもない。そして、ケーリーの八元数環 O と明確に違うことに、十六元数の全体 S は交代代数にもならない。十六元数についていえることは冪結合性（英語版）を持っているということである。これは S の元 x に対して、冪 xⁿ は矛盾なく定義可能で、それらが柔軟（英語版）であることを意味する。

任意の十六元数は、R-ベクトル空間としての S の基底を成す16個の単位十六元数 e₀ = 1, e₁, e₂, e₃, …, e₁₅ の実係数線型結合になっている。

十六元数は乗法に関する単位元を持ち、多くの元がその逆元を持つが、多元体とはならない。これは零因子の存在による。つまり、それ自体は零ではないが掛けると零になるような十六元数の組があるのだが、簡単な例としては (e₃ + e₁₀) × (e₆ − e₁₅) などを挙げることができる。十六元数からケーリー＝ディクソンの構成法を元にして作られるどの超複素数系も零因子を含む。

単位十六元数の乗積表は次のようなものである。

基底の乗積表
×	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
1	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇	e₈	e₉	e₁₀	e₁₁	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅
e₁	e₁	−1	e₃	−e₂	e₅	−e₄	−e₇	e₆	e₉	−e₈	−e₁₁	e₁₀	−e₁₃	e₁₂	e₁₅	−e₁₄
e₂	e₂	−e₃	−1	e₁	e₆	e₇	−e₄	−e₅	e₁₀	e₁₁	−e₈	−e₉	−e₁₄	−e₁₅	e₁₂	e₁₃
e₃	e₃	e₂	−e₁	−1	e₇	−e₆	e₅	−e₄	e₁₁	−e₁₀	e₉	−e₈	−e₁₅	e₁₄	−e₁₃	e₁₂
e₄	e₄	−e₅	−e₆	−e₇	−1	e₁	e₂	e₃	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	−e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁
e₅	e₅	e₄	−e₇	e₆	−e₁	−1	−e₃	e₂	e₁₃	−e₁₂	e₁₅	−e₁₄	e₉	−e₈	e₁₁	−e₁₀
e₆	e₆	e₇	e₄	−e₅	−e₂	e₃	−1	−e₁	e₁₄	−e₁₅	−e₁₂	e₁₃	e₁₀	−e₁₁	−e₈	e₉
e₇	e₇	−e₆	e₅	e₄	−e₃	−e₂	e₁	−1	e₁₅	e₁₄	−e₁₃	−e₁₂	e₁₁	e₁₀	−e₉	−e₈
e₈	e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁	−e₁₂	−e₁₃	−e₁₄	−e₁₅	−1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇
e₉	e₉	e₈	−e₁₁	e₁₀	−e₁₃	e₁₂	e₁₅	−e₁₄	−e₁	−1	−e₃	e₂	−e₅	e₄	e₇	−e₆
e₁₀	e₁₀	e₁₁	e₈	−e₉	−e₁₄	−e₁₅	e₁₂	e₁₃	−e₂	e₃	−1	−e₁	−e₆	−e₇	e₄	e₅
e₁₁	e₁₁	−e₁₀	e₉	e₈	−e₁₅	e₁₄	−e₁₃	e₁₂	−e₃	−e₂	e₁	−1	−e₇	e₆	−e₅	e₄
e₁₂	e₁₂	e₁₃	e₁₄	e₁₅	e₈	−e₉	−e₁₀	−e₁₁	−e₄	e₅	e₆	e₇	−1	−e₁	−e₂	−e₃
e₁₃	e₁₃	−e₁₂	e₁₅	−e₁₄	e₉	e₈	e₁₁	−e₁₀	−e₅	−e₄	e₇	−e₆	e₁	−1	e₃	−e₂
e₁₄	e₁₄	−e₁₅	−e₁₂	e₁₃	e₁₀	−e₁₁	e₈	e₉	−e₆	−e₇	−e₄	e₅	e₂	−e₃	−1	e₁
e₁₅	e₁₅	e₁₄	−e₁₃	−e₁₂	e₁₁	e₁₀	−e₉	e₈	−e₇	e₆	−e₅	−e₄	e₃	e₂	−e₁	−1

一般の十六元数の積は基底における乗法を（分配法則が成り立つように）線型に拡張することで得られる。

十六元数の全体 S は共軛元をとる主対合

x=\sum _{i=0}^{15}x_{i}e_{i}\mapsto x^{*}:=x_{0}1-\sum _{i=1}^{15}x_{i}e_{i}

によってノルム

N(x):=xx^{*}=\sum _{i=0}^{15}x_{i}^{2}\quad ({\text{or }}\|x\|:={\sqrt {xx^{*}}})

の定まる二次代数 (S, N) であるが、これはノルムが乗法的でない。

応用

Moreno (1998) はノルム 1 の十六元数からなる掛けて 0 となる対の全体が、例外型リー群 G₂ のコンパクト型に同型であることを示した。

参考文献

Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), “Sedenions: algebra and analysis”, Applied mathematics and computation 115 (2): 77–88, doi:10.1016/S0096-3003(99)00140-X, MR1786945
Kinyon, M.K., Phillips, J.D., Vojtěchovský, P.: C-loops: Extensions and constructions, Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), no. 1, 1–20. [1]
Kivunge, Benard M. and Smith, Jonathan D. H: "Subloops of sedenions", Comment.Math.Univ.Carolinae 45,2 (2004)295–302.
Moreno, Guillermo (1998), “The zero divisors of the Cayley-Dickson algebras over the real numbers”, Sociedad Matemática Mexicana. Boletí n. Tercera Serie 4 (1): 13–28, arXiv:q-alg/9710013, MR1625585
Smith, Jonathan D. H. (1995), “A left loop on the 15-sphere”, Journal of Algebra 176 (1): 128–138, doi:10.1006/jabr.1995.1237, MR1345298

数の体系

可算な体系

自然数 ( $\mathbb {N}$ )
整数 ( $\mathbb {Z}$ )
有理数 ( $\mathbb {Q}$ )
作図可能数
代数的数 ( $\mathbb {A}$ )
周期
計算可能数
定義可能実数
算術数（英語版）
ガウス整数 ( $\mathbb {Z} [i]$ )
アイゼンシュタイン整数 ( $\mathbb {Z} [\omega ]$ )

合成代数

通常型

実数 ( $\mathbb {R}$ )
複素数 ( $\mathbb {C}$ )
四元数 ( $\mathbb {H}$ )
八元数 ( $\mathbb {O}$ )

分解型

/ $\mathbb {R}$	分解型複素数分解型四元数（英語版）分解型八元数
/ $\mathbb {C}$	双複素数双四元数（英語版）双八元数