Kumpulan Abel

Dalam bidang matematik, Kumpulan Abel, kumpulan Abelan atau kumpulan kalis tukar tertib ialah kumpulan yang mematuhi aksiom tambahan kalis tukar tertib. Kumpulan ini mendapat namanya bersempena Neils Henrik Abel.

Takrif

Kumpulan Abel ditakrifkan oleh suatu pasangan ${\displaystyle (A,*)}$ yang terdiri daripada sebuah set ${\displaystyle A}$ dan operasi dedua * atas ${\displaystyle A}$, dan mematuhi aksiom-aksiom berikut:

Tutupan

Untuk semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle a*b}$ juga dalam ${\displaystyle A}$.

Kalis sekutuan

Untuk semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$.

Identiti

Wujud suatu unsur identiti ${\displaystyle e}$ dalam ${\displaystyle A}$, di mana untuk semua ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle a*e=e*a=a}$.

Songsangan

Untuk semua ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle G}$, wujud unsur songsang ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle G}$ di mana ${\displaystyle a*b=b*a=e}$ dan ${\displaystyle e}$ ialah unsur identiti.

Kalis tukar tertib

Untuk semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle a*b=b*a}$.