Driehoeksongelijkheid

De driehoeksongelijkheid zegt dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn is. Gaat men via een omweg over het punt P van het punt A naar het punt B dan is de afstand langer dan wanneer men direct in een rechte lijn gaat. Als P op de lijn tussen A en B ligt maakt het natuurlijk niets uit.

Meetkundige interpretatie

Voor elk drietal punten A, B en P in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met | A B | {\displaystyle \mathrm {|AB|} } de afstand tussen A en B:

| A B | < | A P | + | B P | {\displaystyle \mathrm {|AB|<|AP|+|BP|} }

Als A, B en P op één lijn liggen en P bevindt zich tussen A en B, geldt

| A B | = | A P | + | B P | {\displaystyle \mathrm {|AB|=|AP|+|BP|} }

Driehoeksongelijkheid in een algemene vectorruimte

De eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}

voor alle vectoren x {\displaystyle x} en y {\displaystyle y} .

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de L p {\displaystyle L^{p}} -norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

d ( x , y ) = | x − y | = | x − z + z − y | ≤ | x − z | + | z − y | = d ( x , z ) + d ( z , y ) {\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\leq |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y)}

Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } gegeven is, wordt door de definitie

‖ x ‖ = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

⟨ x + y , x + y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + 2 Re ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , y ⟩ ≤ ⟨ x , x ⟩ + 2 ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ + ⟨ y , y ⟩ = ( ⟨ x , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ ) 2 {\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2{\hbox{Re}}\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \langle x,x\rangle +2{\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}+\langle y,y\rangle =\left({\sqrt {\langle x,x\rangle }}+{\sqrt {\langle y,y\rangle }}\right)^{2}}
De tweede (ook wel omgekeerde) driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op u = ( u − v ) + v {\displaystyle u=(u-v)+v} geeft:

‖ ( u − v ) + v ‖ ≤ ‖ u − v ‖ + ‖ v ‖ {\displaystyle \|(u-v)+v\|\leq \|u-v\|+\|v\|}

dus

‖ u ‖ − ‖ v ‖ ≤ ‖ u − v ‖ {\displaystyle \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|}

Toepassen op v = ( v − u ) + u {\displaystyle v=(v-u)+u} geeft bovendien:

‖ ( v − u ) + u ‖ ≤ ‖ v − u ‖ + ‖ u ‖ {\displaystyle \|(v-u)+u\|\leq \|v-u\|+\|u\|}

dus

‖ v ‖ − ‖ u ‖ ≤ ‖ v − u ‖ {\displaystyle \|v\|-\|u\|\leq \|v-u\|}

maar dan ook:

‖ u ‖ − ‖ v ‖ ≤ ‖ v − u ‖ {\displaystyle \|u\|-\|v\|\leq \|v-u\|}

dus

| ‖ u ‖ − ‖ v ‖ | ≤ ‖ u − v ‖ {\displaystyle {\bigg |}\|u\|-\|v\|{\bigg |}\leq \|u-v\|}

Abstracte versie

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling V {\displaystyle V} geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische "afstandsfunctie" die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.