In de abstracte verzamelingenleer kan met behulp van twee relaties tussen verzamelingen soms een nieuwe relatie gevormd worden, de samengestelde relatie. Als namelijk
in een zekere relatie staat tot
, en
staat op zijn beurt weer in een relatie met
, dan is er dus een relatie tussen
en
, die de samengestelde relatie heet.
Definitie
Zij
een relatie tussen de twee verzamelingen
en
, dus
is een deelverzameling van het cartesisch product
, en
een relatie tussen
en
, dus:
![{\displaystyle R\subset A\times B,\ S\subset B\times C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd2429a7605132f55075b5bd1d5398307fd7f8c)
De samengestelde relatie van
en
is gedefinieerd als
![{\displaystyle S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists b\in B:(a,b)\in R{\hbox{ en }}(b,c)\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dc673662ad2d4491bc14759e3b471497176459)
De notatie
wordt soms gelezen als "
(komt) na
".
De definitie van de functiecompositie of de samengestelde afbeelding komt daarmee overeen. Als
een functie of afbeelding is van
naar
, en
van
naar
, dan is
een functie of afbeelding van
naar
, die de functiecompositie of samengestelde afbeelding van
en
wordt genoemd.
Voorbeelden
- De relatie 'kind van' kan met zichzelf samengesteld worden tot de relatie 'kleinkind van'. Als
een kind is van
, en
is een kind van
, dan is
een kleinkind van
.
- Beschouw de volgende twee relaties tussen de natuurlijke getallen
en zichzelf:
![{\displaystyle R=\{(0,0),(1,2),(2,4)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ba7a5150d6bb2517bba491916afbd2f5e1fd4d)
![{\displaystyle S=\{(0,5),(0,10),(4,2),(4,4)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c539ea783a2dbb22753743e3e2a505b5afef5bb)
- Dan is hun samengestelde relatie
![{\displaystyle S\circ R=\{(0,5),(0,10),(2,2),(2,4)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6453e28d902163b41bd8a1f106236be5d5f37fc3)
- In dit geval heeft ook
zin, en
![{\displaystyle R\circ S=\{(4,4)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a518c73357693598119ec1556222a990cb5e63)
- Als
en
permutaties zijn van een gegeven verzameling
met een bepaald aantal elementen, dan is
dat ook. De verzameling van alle mogelijke permutaties van
vormt met de bewerking
een groep, genoteerd
en genaamd de symmetrische groep op
.
- Beschouw de reële functies
en
. Dan bestaan zowel
als
, en
![{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=x^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fe736d97cbdd55b6d6896d12516aaf8b622bde)
![{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(x-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc261f0c9f21033566dc7a47e12bbe6ec18efdcc)
Transitiviteit
Een relatie
op een verzameling
is transitief als
een deel is van
zelf.