Potens (matematikk)

«Potens» omdirigeres hit. For annen bruk, se Potens (andre betydninger).

Grafen b^x for ulike verdier for b: 10, e, 2 og 1/2 for henholdsvis grønn, rød, blå og turkis kurve.

En potens i matematikken er et tall eller en funksjon uttrykt som en relasjon mellom to tall eller variabler, et grunntall og en eksponent. Man sier at grunntallet er opphøyd i eksponenten. En potens med grunntall b og eksponent n skrives:

b^{n}

Dersom n er et positivt heltall, tilsvarer dette å gange grunntallet med seg selv n ganger, dvs.

b^{n}=b\cdot b\cdot \cdots \cdot b

der man utfører multiplikasjonen på høyre side n ganger. For eksempel kan man skrive tallet 8 som $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ ; her vil $2^{3}$ være en potens og 3 tallets eksponent.

Dersom n er et positivt heltall, defineres $b^{-n}$ ved hjelp av brøk, slik at

b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}

og $b^{1/n}$ som n-te-roten av grunntallet,

b^{1/n}={\sqrt[{n}]{b}}

Definisjonen av eksponenter kan utvides til å gjelde for alle reelle og komplekse tall.

Regneregler

En potens med grunntall b og eksponent n, multiplisert med en annen potens med grunntall b og eksponent m:

b^{n}\cdot b^{m}=b^{n+m}

En potens med grunntall b og eksponent n, dividert med en annen potens med grunntall b, og eksponent m:

{\frac {b^{n}}{b^{m}}}=b^{n-m}

Negative eksponenter gir den inverse til tallet opphøyd i eksponenten:

b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}

for alle b ulik 0

Potens av potens regnes ut ved å opphøye grunntallet i produktet av eksponentene:

(b^{n})^{m}=b^{nm}

For generelle eksponenter (strengt tatt av type rasjonale tall) kan en forklare potensfunksjonen som en kombinasjon av heltallig potensiering og heltallig rotberegning:

b^{0.4}=b^{2/5}={\sqrt[{5}]{b^{2}}}

For eksponenter lik null gjelder:

b^{0}=b^{n-n}={\frac {b^{n}}{b^{n}}}=1

for alle b ulik 0

Notasjon for funksjoner

Dersom et tall angis som opphøyd for en funksjon, før argumentet, betegner dette vanligvis enten en invers (for -1) eller at man anvender samme funksjon et visst antall ganger (for et positivt heltall). F.eks. vil man kunne angi den inverse funksjonen av $f(x)=x$ som $f^{-1}(x)=1/x$ (for x > 0), og funksjonen $f(f(f(x)))$ som $f^{3}(x)$ .

For trigonometriske og hyperbolske funksjoner har slike eksponenter, etter konvensjon, en noe annen betydning: -1 betegner den trigonometriske inverse funksjonen, og et positivt heltall betegner at man opphøyer funksjonen i dette tallet n ganger. F.eks. vil $\sin ^{-1}x$ brukes ekvivalent med $\arcsin x$ , og $\sin ^{2}x$ ekvivalent med $(\sin x)^{2}$ . Tilsvarende konvensjon for positive heltall gjelder også for logaritmiske funksjoner, der $\log ^{2}x$ vanligvis refererer til $(\log x)^{2}$ , ikke $\log \log x$ .