Aksjomat sumy

Aksjomat sumy ( A x ⋃ {\displaystyle Ax\bigcup {\mathcal {}}} [1]) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla[2][3].

Aksjomat ten można wypowiedzieć następująco:

∀ u ∃ y ∀ x ( x ∈ y ⇔ ∃ z ( z ∈ u ∧ x ∈ z ) ) {\displaystyle \forall u\exists y\forall x(x\in y\Leftrightarrow \exists z(z\in u\wedge x\in z))} [1][4][5][6].

Aksjomat ekstensjonalności gwarantuje jednoznaczność wyznaczenia takiego zbioru[4][5], który nazywamy sumą zbioru u {\displaystyle u} i oznaczamy symbolicznie ⋃ u {\displaystyle \bigcup {\mathcal {u}}} [2][4][5][6].

W matematyce często używa się notacji zindeksowanej, na przykład: ⋃ i = 1 n x i := ⋃ { x i } i = 1 n {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}x_{i}:=\bigcup \{x_{i}\}_{i=1}^{n}} [5].

Szczególnym wnioskiem wynikającym z tego aksjomatu jest istnienie sumy dwóch zbiorów[7][5] – dla danych dwóch zbiorów: a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} definiujemy a ∪ b := ⋃ { a , b } {\displaystyle a\cup b:=\bigcup \{a,b\}} [4][5][8]. Istnienie rodziny { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} zapewnia aksjomat pary[8].

Przypisy

  1. ↑ a b Marek Nowak, Wykłady z teorii mnogości, Rozdział I: „Aksjomatyka ZFC i podstawowe pojęcia teoriomnogościowe”, s. 6.
  2. ↑ a b Nowak 2016 ↓, s. 92.
  3. ↑ Jacek Cichoń, Wykłady ze wstępu do matematyki, s. 130.
  4. ↑ a b c d Jacek Cichoń, Wykłady ze wstępu do matematyki, Aksjomat 4, s. 131.
  5. ↑ a b c d e f Paweł Urzyczyn, Wstęp do teorii mnogości, s. 5.
  6. ↑ a b Żaneta Trębska, Logika i teoria mnogości – Wykład 13: Sformalizowane teorie matematyczne, s. 3.
  7. ↑ Krzysztof Trzęsicki, Elementy logiki i teorii mnogości, Aksjomat 2, s. 187.
  8. ↑ a b W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości: Dodatek F: Aksjomaty teorii mnogości, s. F6, Przykład F.2.(1).

Bibliografia

  • Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Sum Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Encyklopedia internetowa (aksjomat):
  • Britannica: topic/axiom-of-union